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  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
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  "disclaimer": "単元の並びは学習指導要領に沿って作り、年号や人物などの事実は公開データと照らし合わせています。誤りに気づいたら意見箱からお知らせください。確かめて直します。テストや受験の前には、教科書や先生の説明もあわせて確認してください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「小学校学習指導要領」「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
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  "slug": "arc-length-and-distance-traveled",
  "name": "曲線の長さと道のり",
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    "title": "積分法",
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  "summary_points": [
    "曲線y＝f(x)の長さは、L＝∫√(1＋{f'(x)}²)dxで求まる。三平方の定理をごく短い区間に当てはめた式だ。",
    "数直線上を動く点の位置の変化（変位）は、速度v(t)をそのまま積分した∫v(t)dtで求まる。",
    "道のりは、速度の正負にかかわらず動いた距離の合計なので、∫|v(t)|dtのように絶対値をつけて積分する。"
  ],
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      "term": "曲線の長さの公式",
      "note": "L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dx"
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      "note": "∫v(t)dt（速度をそのまま積分）"
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      "term": "道のり",
      "note": "∫|v(t)|dt（速度の絶対値を積分）"
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    {
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      "prompt": "曲線y＝f(x)の区間a≦x≦bの部分の長さLを表す式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "L＝∫ₐᵇf'(x)dx",
        "L＝∫ₐᵇ|f(x)|dx",
        "L＝∫ₐᵇ{f'(x)}²dx",
        "L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dx"
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      "explanation": "曲線の長さは、各点での接線の傾きf'(x)を使って、L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dxで求まる。三平方の定理でds²＝dx²＋dy²と考えた式。",
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      "prompt": "曲線\\(y=\\dfrac{2}{3}x^{3/2}\\)の0≦x≦3の部分の長さを求めよ。",
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      "explanation": "f'(x)＝√xなので、1＋(f'(x))²＝1＋x。長さは\\(L=\\displaystyle\\int_{0}^{3}\\sqrt{1+x}\\,dx\\) \\(=\\left[\\dfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\\right]_{0}^{3}\\) \\(=\\dfrac{2}{3}(8-1)=\\dfrac{14}{3}\\)。",
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    {
      "id": "q-ald-displacement-vs-distance",
      "type": "input",
      "prompt": "数直線上を動く点Pの速度がv(t)＝2t－4（0≦t≦3）のとき、t＝0からt＝3までの点Pの位置の変化（変位）を求めよ。",
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      "explanation": "位置の変化はvを定積分した値。∫₀³(2t－4)dt＝[t²－4t]₀³＝(9－12)－0＝－3。負の値は、最終的に出発点より3だけ戻っていることを表す。",
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      "type": "input",
      "prompt": "数直線上を動く点Pの速度がv(t)＝2t－4（0≦t≦3）のとき、t＝0からt＝3までの点Pの道のりを求めよ。",
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      "explanation": "道のりは|v|を定積分した値。v(t)はt＝2で0になり、0≦t＜2では負、2＜t≦3では正。道のり＝∫₀²(4－2t)dt＋∫₂³(2t－4)dt＝4＋1＝5。変位の－3とは違う値になる。",
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        "arc-length-and-distance-traveled"
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  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅲ (3)積分法 ア(ｳ) 定積分を利用して、いろいろな曲線で囲まれた図形の面積や立体の体積及び曲線の長さなどを求めること。解説 p.79〜81）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
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      "alt": "曲線上の短い区間を拡大し、幅dx・高さdyの直角三角形とその斜辺dsを描いた図",
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      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "caption": "短い区間を直角三角形で近似してdsを作る"
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      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "section": "why",
      "caption": "負の部分も正として数えると道のり"
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