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  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
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  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "単元の並びは学習指導要領に沿って作り、年号や人物などの事実は公開データと照らし合わせています。誤りに気づいたら意見箱からお知らせください。確かめて直します。テストや受験の前には、教科書や先生の説明もあわせて確認してください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「小学校学習指導要領」「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
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  "slug": "concavity-and-inflection-points",
  "name": "関数の凹凸と変曲点",
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    "title": "数学Ⅲ",
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    "title": "微分法",
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  "summary_points": [
    "導関数f′(x)をもう一度微分した関数を第二次導関数f″(x)という。",
    "f″(x)＞0の区間でグラフは下に凸、f″(x)＜0の区間では上に凸になる。",
    "f″(x)の符号が変わる点を変曲点という。極大・極小とは別の、グラフの曲がり方が変わる点だ。"
  ],
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    {
      "term": "第二次導関数f″(x)",
      "note": "f′(x)をもう一度微分した関数"
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    {
      "term": "下に凸・上に凸",
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    {
      "term": "変曲点",
      "note": "f″(x)の符号が変わる点"
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    {
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      "prompt": "f(x)＝x³−3x²の第二次導関数f″(x)を求め、f″(2)の値を求めよ。",
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        "concavity-and-inflection-points"
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    {
      "id": "q-cip-inflection-x-value",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝x³−3x²の変曲点のx座標を求めよ。",
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      "explanation": "f″(x)＝6x−6＝0を解くとx＝1。x＝1の前後でf″の符号が変わるので、x＝1が変曲点のx座標になる。",
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      "prompt": "f″(x)＞0の区間で、グラフの凹凸はどうなるか。",
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        "増加",
        "下に凸",
        "上に凸",
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      "explanation": "f″(x)＞0は接線の傾きが増えていくことを表し、このときグラフは下に凸（谷のような形）になる。",
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    },
    {
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      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝x³−3x²の変曲点はどれか。",
      "choices": [
        "(1, −2)",
        "(2, −4)",
        "(0, 0)",
        "(1, 0)"
      ],
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      "explanation": "f″(x)＝0となるx＝1で凹凸が切り替わる。f(1)＝1−3＝−2なので、変曲点は(1, −2)。",
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        "concavity-and-inflection-points"
      ],
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    }
  ],
  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅲ (2)微分法 ア(ｴ)イ(ｲ) 関数とその導関数や第二次導関数の関係について考察すること・「ここでは、第二次導関数、変曲点やグラフの漸近線も取り扱う」。解説 p.75、p.78）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
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  "media": [
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      "src": "/media/concavity-and-inflection-points/cubic-concavity-graph.png",
      "alt": "y＝x³−3x²のグラフに、極大点(0,0)・極小点(2,−4)・変曲点(1,−2)を示し、x＜1で上に凸、x＞1で下に凸になることを色分けした図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "example",
      "caption": "y＝x³−3x²の増減と凹凸・変曲点"
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    {
      "src": "/media/concavity-and-inflection-points/concave-up-down-tangents.png",
      "alt": "下に凸な区間では接線がグラフの下側にあり傾きが増えていく様子、上に凸な区間では接線がグラフの上側にあり傾きが減っていく様子を、それぞれ3本の接線で示した図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "why",
      "caption": "下に凸では接線の傾きが増え、上に凸では減る"
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  "updated_at": "2026-10-31"
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