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  "api_version": "v1",
  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
    "url": "https://manazoo.com/"
  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "単元の並びは学習指導要領に沿って作り、年号や人物などの事実は公開データと照らし合わせています。誤りに気づいたら意見箱からお知らせください。確かめて直します。テストや受験の前には、教科書や先生の説明もあわせて確認してください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「小学校学習指導要領」「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
  "kind": "entity",
  "slug": "continuity-of-functions",
  "name": "関数の連続性",
  "entity_kind": "concept",
  "wikidata_qid": "Q170058",
  "wikidata_url": "https://www.wikidata.org/wiki/Q170058",
  "canonical_url": "https://manazoo.com/math/continuity-of-functions/",
  "api_url": "https://manazoo.com/api/v1/entities/continuity-of-functions.json",
  "course": {
    "slug": "math-3",
    "title": "数学Ⅲ",
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  "unit": {
    "slug": "limits",
    "title": "極限",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-3/limits/"
  },
  "period": null,
  "place": null,
  "summary_points": [
    "関数f(x)がx＝aで連続であるとは、f(a)が定義され、\\(\\lim_{x \\to a}f(x)\\)が存在し、\\(\\lim_{x \\to a}f(x)=f(a)\\)が成り立つこと。",
    "極限値が存在してもf(a)と一致しなければ不連続。また、x→aでの極限値そのものが存在しない（値が飛ぶ）場合も不連続。",
    "多項式関数はすべてのxで連続、分数関数は分母が0にならないxの範囲で連続、指数関数・対数関数は定義域内のすべての点で連続。"
  ],
  "facts": null,
  "key_points": [
    {
      "term": "連続",
      "note": "f(a)の値と、x→aでの極限値がともにあって一致すること"
    },
    {
      "term": "除去可能な不連続",
      "note": "極限値はあるがf(a)と一致しない、または定義されない不連続"
    },
    {
      "term": "跳躍不連続",
      "note": "値が一方からの近づきでジャンプして飛ぶ不連続"
    }
  ],
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  "related": {
    "cause": [],
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    "same_period_japan": []
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  "questions": [
    {
      "id": "q-cof-continuity-condition-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "関数f(x)がx＝aで連続であるための条件はどれか。",
      "choices": [
        "極限値が存在すればよい",
        "f(a)が定義されていればよい",
        "f(a)が定義され、極限値が存在し、両者が等しい",
        "f(a)が存在しなくてもよい"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "f(a)が定義され、極限値が存在し、その2つが一致する、という3つがすべて成り立つことが連続の条件。",
      "entities": [
        "continuity-of-functions"
      ],
      "verified": true,
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    },
    {
      "id": "q-cof-removable-example-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝(x²−4)／(x−2)（x≠2）、f(2)＝5と定めるとき、x＝2での連続性はどれか。",
      "choices": [
        "定義されていない",
        "連続である",
        "不連続である",
        "判定できない"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "x→2での極限値は4だが、f(2)＝5なので一致しない。よってx＝2で不連続。",
      "entities": [
        "continuity-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cof-limit-value-input",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝(x²−4)／(x−2)（x≠2）について、x→2での極限値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "4",
      "accept": [],
      "explanation": "x≠2のときf(x)＝(x−2)(x＋2)／(x−2)＝x＋2なので、極限値は2＋2＝4。",
      "entities": [
        "continuity-of-functions"
      ],
      "verified": true,
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    },
    {
      "id": "q-cof-exponential-continuous-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "指数関数y＝2ˣの連続性について正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "x＝0でのみ不連続",
        "連続ではない",
        "負の数でのみ不連続",
        "定義域内のすべての点で連続"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "指数関数の定義域はすべての実数で、そのすべての点で連続であることが知られている。",
      "entities": [
        "continuity-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    }
  ],
  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅲ (1)極限 内容の取扱い（関連して関数の連続性についても取り扱う。指数関数と対数関数については、定義域内の任意の値に対して連続であることを、情報機器を用いるなどして直観的に理解できるようにする）。解説 p.75）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
    }
  ],
  "media": [
    {
      "src": "/media/continuity-of-functions/removable-discontinuity.png",
      "alt": "f(x)＝(x²−4)／(x−2)（x≠2）のグラフに、極限値4の位置に白丸、f(2)＝5の位置に塗りつぶした点を示し、両者がずれていることを表した図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "example",
      "caption": "極限4とf(2)＝5がずれて不連続"
    },
    {
      "src": "/media/continuity-of-functions/jump-discontinuity.png",
      "alt": "f(x)＝x（x＜1）、x＋1（x≧1）のグラフで、x＝1の左側は白丸、右側（x＝1の値）は塗りつぶした点になり、値が1から2へ飛んでいることを示した図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "why",
      "caption": "x＝1で値が1から2へ飛ぶ不連続"
    }
  ],
  "status": "published",
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  "updated_at": "2026-10-31"
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