{
  "api_version": "v1",
  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
    "url": "https://manazoo.com/"
  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "内容の正確さには気をつけていますが、すべてが正しいとは限りません。テストや受験の前には、教科書や先生の説明でも確かめてください。間違いを見つけたら意見箱から知らせてください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
  "kind": "entity",
  "slug": "definite-integrals-and-area",
  "name": "定積分と面積",
  "entity_kind": "concept",
  "wikidata_qid": "Q80091",
  "wikidata_url": "https://www.wikidata.org/wiki/Q80091",
  "canonical_url": "https://manazoo.com/math/definite-integrals-and-area/",
  "api_url": "https://manazoo.com/api/v1/entities/definite-integrals-and-area.json",
  "course": {
    "slug": "math-2",
    "title": "数学Ⅱ",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-2/"
  },
  "unit": {
    "slug": "differential-and-integral-calculus",
    "title": "微分・積分の考え",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-2/differential-and-integral-calculus/"
  },
  "period": null,
  "place": null,
  "summary_points": [
    "区間でf(x)≤0のとき、∫f(x)dxの値は負になるので、面積はその値の符号を変えて求める。",
    "上側のグラフから下側のグラフを引いて積分すると、2つのグラフにはさまれた部分の面積になる。",
    "放物線とみなせる図形は、座標を設定して式を求めれば、定積分で面積を求められる。"
  ],
  "facts": null,
  "key_points": [
    {
      "term": "下側の面積",
      "note": "−∫f(x)dxで正の値にする"
    },
    {
      "term": "2つのグラフの面積",
      "note": "上のグラフから下を引いて積分する"
    },
    {
      "term": "座標の設定",
      "note": "図形に式を当てはめる工夫"
    }
  ],
  "summary": null,
  "causality": null,
  "timeline": [],
  "related": {
    "cause": [],
    "result": [],
    "people": [],
    "same_period_japan": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q-dia-area-below-axis-x2-minus-9",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝x²−9について、区間−3≦x≦3でy＝f(x)のグラフとx軸にはさまれた部分の面積を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "36",
      "accept": [],
      "explanation": "この区間ではf(x)≤0なので、∫₋₃³(x²−9)dx＝−36と負の値になる。面積はその符号を変えて36になる。",
      "entities": [
        "definite-integrals-and-area"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dia-area-between-parabola-and-line",
      "type": "choice",
      "prompt": "放物線y＝x²と直線y＝2xで囲まれた部分の面積を求める式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "∫₀²(x²−2x)dx",
        "∫₀²(2x−x²)dx",
        "∫₀²2x dx",
        "∫₀²x²dx"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "交点はx²＝2xよりx＝0,2。区間0≦x≦2では直線の方が上にあるので、面積は∫₀²(2x−x²)dxになる。2つ目は上下を逆にしていて値が負になる。3つ目は放物線の分を引いておらず、4つ目は直線の分を引いていない。",
      "entities": [
        "definite-integrals-and-area"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dia-parabola-window-4m-3m",
      "type": "input",
      "prompt": "ある橋の欄干の飾り窓は、放物線とみなせる形で、幅4m・高さ3mの左右対称な形をしている。この飾り窓の面積を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "8",
      "accept": [
        "8m²",
        "8m2"
      ],
      "explanation": "底の真ん中を原点にすると、−2≦x≦2でy＝(3/4)(4−x²)という式になる。これを積分すると面積は8（m²）になる。",
      "entities": [
        "definite-integrals-and-area"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dia-area-between-two-graphs-formula",
      "type": "choice",
      "prompt": "y＝f(x)のグラフがy＝g(x)のグラフより上にある区間a≦x≦bで、2つのグラフに囲まれた部分の面積Sを定積分で表すとどれになるか。",
      "choices": [
        "S＝∫ₐᵇ{g(x)−f(x)}dx",
        "S＝∫ₐᵇ{f(x)−g(x)}dx",
        "S＝∫ₐᵇf(x)g(x)dx",
        "S＝∫ₐᵇf(x)dx＋∫ₐᵇg(x)dx"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "上のグラフから下のグラフを引いて積分するので、S＝∫ₐᵇ{f(x)−g(x)}dxになる。2つ目は上下を逆にしていて値が負になる。3つ目は引く代わりに足している。4つ目は差ではなく積を積分している。",
      "entities": [
        "definite-integrals-and-area"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    }
  ],
  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅱ (5)微分・積分の考え イ(ｳ)・［内容の取扱い］(1) いろいろな直線や関数のグラフで囲まれた図形の面積を求める方法について考察すること。放物線とみなすことができる曲線と直線で囲まれた左右対称の窓の面積を求める問題を取り上げる。解説 p.64〜66）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
    }
  ],
  "media": [
    {
      "src": "/media/definite-integrals-and-area/area-below-x-axis.png",
      "alt": "y＝x²−4のグラフが−2から2でx軸より下にある部分を塗り、積分値−32/3から面積32/3を導く図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "formula",
      "caption": "x軸より下の部分は符号を変えて面積にする"
    },
    {
      "src": "/media/definite-integrals-and-area/parabola-window-area.png",
      "alt": "幅2m・高さ1mの左右対称な放物線の窓を、底の真ん中を原点にした座標に置き、y＝1−x²の内側を塗った図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "why",
      "caption": "窓の面積も座標を設定して定積分で求める"
    }
  ],
  "status": "published",
  "placeholder": false,
  "updated_at": "2026-10-22"
}