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  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
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  "disclaimer": "内容の正確さには気をつけていますが、すべてが正しいとは限りません。テストや受験の前には、教科書や先生の説明でも確かめてください。間違いを見つけたら意見箱から知らせてください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
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  "name": "定積分",
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    "title": "数学Ⅱ",
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    "title": "微分・積分の考え",
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    "定積分∫ₐᵇf(x)dxは、原始関数F(x)を使ってF(b)−F(a)で計算する。aは下端、bは上端という。",
    "上端と下端を入れ替えると定積分の値の符号が反転し、区間を2つに分けて足しても同じ値になる。",
    "区間a≦x≦tでの面積をS(t)とすると、S′(t)＝f(t)になり、定積分が面積を表すことが導ける。"
  ],
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    {
      "term": "定積分",
      "note": "F(b)−F(a)で求める値"
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    {
      "term": "上端と下端",
      "note": "∫ₐᵇのaが下端、bが上端"
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    {
      "term": "S′(t)＝f(t)",
      "note": "定積分が面積を表す理由"
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    {
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      "prompt": "∫₀³(2x＋1)dxの値を求めよ。",
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      "explanation": "原始関数はF(x)＝x²＋xなので、F(3)＝9＋3＝12、F(0)＝0。F(3)−F(0)＝12−0＝12になる。",
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      "prompt": "∫₂⁵f(x)dx＝12のとき、∫₅²f(x)dxの値はどれか。",
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        "12",
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      "explanation": "上端と下端を入れ替えると定積分の値の符号が反転するので、∫₅²f(x)dx＝−∫₂⁵f(x)dx＝−12になる。2つ目は符号を変えていない。3つ目・4つ目はこの性質に合わない値だ。",
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        "definite-integrals"
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    {
      "id": "q-di-split-interval-sum",
      "type": "input",
      "prompt": "∫₀²f(x)dx＝5、∫₂⁶f(x)dx＝9のとき、∫₀⁶f(x)dxの値を求めよ。",
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      "explanation": "区間を途中のx＝2でつなげられるので、∫₀⁶f(x)dx＝∫₀²f(x)dx＋∫₂⁶f(x)dx＝5＋9＝14になる。",
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        "definite-integrals"
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    {
      "id": "q-di-area-function-derivative",
      "type": "choice",
      "prompt": "S(t)をy＝f(x)のグラフとx軸、直線x＝a、x＝tで囲まれた部分の面積とするとき、S′(t)はどれに等しいか。",
      "choices": [
        "f(t)",
        "f′(t)",
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        "f(a)"
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      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "tをhだけ増やしたときの面積の増え方S(t+h)−S(t)は、幅h・高さf(t)の長方形に近いので、S′(t)＝f(t)になる。2つ目はaでのf(x)の値で、tとは別の値だ。3つ目はf(x)をさらに微分したもので、S′(t)とは別の関数になる。4つ目はf(t)が0のときしか成り立たない。",
      "entities": [
        "definite-integrals"
      ],
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    }
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  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅱ (5)微分・積分の考え ア(ｳ)・イ(ｳ) 定積分の指導に当たっては、具体的なイメージを与えるために、面積を求める例などと関連付けて導入することが大切である。解説 p.64〜66）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
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      "alt": "y＝2xのグラフとx軸、x＝1・x＝3にはさまれた台形を塗り、F(1)＝1とF(3)＝9から面積8を導く図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "section": "formula",
      "caption": "∫₁³2x dxをF(3)−F(1)で求める"
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      "alt": "x＝aからx＝tまでの面積S(t)と、tからt+hまでの幅hの帯を塗り分けてS′(t)＝f(t)を示す図",
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      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "section": "why",
      "caption": "S(t)を微分するとf(t)に戻る"
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