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  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
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  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "単元の並びは学習指導要領に沿って作り、年号や人物などの事実は公開データと照らし合わせています。誤りに気づいたら意見箱からお知らせください。確かめて直します。テストや受験の前には、教科書や先生の説明もあわせて確認してください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「小学校学習指導要領」「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
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  "slug": "differentiability-and-product-quotient-rule",
  "name": "微分可能性と積・商の導関数",
  "entity_kind": "concept",
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    "title": "数学Ⅲ",
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    "title": "微分法",
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  "summary_points": [
    "x＝aでの微分係数の極限が存在するとき、f(x)はx＝aで微分可能という。",
    "積の導関数は(fg)′＝f′g＋fg′、商の導関数は(f/g)′＝(f′g−fg′)/g²で求める。",
    "連続だが微分可能でない点を持つ関数があり、連続性と微分可能性は別の性質だ。"
  ],
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    {
      "term": "微分可能",
      "note": "x＝aでの微分係数f′(a)の極限が存在すること"
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    {
      "term": "積の導関数",
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    {
      "term": "商の導関数",
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  "questions": [
    {
      "id": "q-dpq-product-rule-value-at-1",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝(2x＋1)(x²−3)の導関数f′(x)を積の導関数の公式で求め、f′(1)の値を求めよ。",
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      "explanation": "積の導関数の公式を使うと、f′(x)＝6x²＋2x−6になる。f′(1)＝6＋2−6＝2。",
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    {
      "id": "q-dpq-quotient-rule-value-at-1",
      "type": "input",
      "prompt": "g(x)＝x²/(x＋1)の導関数g′(x)を商の導関数の公式で求め、g′(1)の値を求めよ。分数の形で、/（スラッシュ）を使って答えよう。",
      "choices": null,
      "answer": "3/4",
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        "3/4"
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      "explanation": "g′(x)＝(2x(x＋1)−x²)/(x＋1)²＝(x²＋2x)/(x＋1)²なので、g′(1)＝(1＋2)/4＝3/4。",
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        "differentiability-and-product-quotient-rule"
      ],
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    {
      "id": "q-dpq-negative-power-rule-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "商の導関数の公式を使って求めると、f(x)＝x⁻²（＝1/x²）の導関数f′(x)はどれか。",
      "choices": [
        "x⁻³",
        "−2x⁻³",
        "−2x⁻¹",
        "2x⁻³"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "(xⁿ)′＝nxⁿ⁻¹はnが負の整数でも成り立つので、(x⁻²)′＝−2x⁻³になる。f(x)＝1/x²を商の導関数（分子が1で導関数0）で確かめても同じ結果が得られる。",
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    {
      "id": "q-dpq-differentiable-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝|x|がx＝0で微分可能でない理由として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "x＝0の前後で平均変化率の極限が−1と1に分かれ、1つに決まらないから",
        "x＝0でf(x)の値が負になるから",
        "x＝0でf(x)が連続でないから",
        "x＝0でf(x)の値が定義されていないから"
      ],
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      "explanation": "f(x)＝|x|はx＝0でもつながっていて連続だが、x＜0側の傾きは−1、x＞0側の傾きは1で、hを0に近づける平均変化率の極限が一方向に決まらない。だから微分可能ではない。",
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        "differentiability-and-product-quotient-rule"
      ],
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  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅲ (2)微分法 ア(ｱ) 微分可能性、関数の積及び商の導関数について理解し、関数の和、差、積及び商の導関数を求めること。解説 p.75〜76）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
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      "alt": "f(x)＝|x|はx＝0で左右の傾きが分かれる例、g(x)はx＝0で滑らかにつながる例を並べた図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "caption": "連続でも微分可能でない例（左）と微分可能な例（右）"
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      "src": "/media/differentiability-and-product-quotient-rule/product-rule-example.png",
      "alt": "f(x)＝(2x＋1)(x²−3)をu(x)＝2x＋1とv(x)＝x²−3の積に分け、積の導関数の公式で6x²＋2x−6を求める計算過程を示した図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "example",
      "caption": "積の導関数：f′＝u′v＋uv′"
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  "updated_at": "2026-10-31"
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