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  "disclaimer": "内容の正確さには気をつけていますが、すべてが正しいとは限りません。テストや受験の前には、教科書や先生の説明でも確かめてください。間違いを見つけたら意見箱から知らせてください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
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    "title": "微分・積分の考え",
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    "微分するとf(x)になる関数を原始関数という。原始関数にCを加えた形が、f(x)の不定積分のすべてだ。",
    "∫xⁿdx＝xⁿ⁺¹/(n＋1)＋C（n≤2が中心）のように、xの何乗の関数は次数を1つ上げて割ると積分できる。",
    "不定積分は定数倍・和と差に分けて計算できる。条件が1つ与えられれば、積分定数Cの値も1つに決まる。"
  ],
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    {
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      "note": "微分するとf(x)になる関数"
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      "term": "積分定数C",
      "note": "原始関数に自由に加えられる定数"
    },
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      "term": "∫xⁿdxの公式",
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    {
      "id": "q-ii-antiderivative-x2-plus-2x",
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      "prompt": "f(x)＝x²＋2xの不定積分として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "x³/3＋2x²＋C",
        "x³/3＋x²＋C",
        "x³＋x²＋C",
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      "explanation": "f(x)＝x²＋2xを項ごとに積分すると、x²の不定積分はx³/3、2xの不定積分はx²になるので、x³/3＋x²＋Cになる。2つ目はCを忘れている。3つ目はx³の項を3で割っていない。4つ目は2xの不定積分をx²でなく2x²と取り違えている。",
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      "explanation": "F(x)＝∫(6x−4)dx＝3x²−4x＋Cになる。F(1)＝3−4＋C＝5よりC＝6なので、F(x)＝3x²−4x＋6。F(0)＝0−0＋6＝6になる。",
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      "id": "q-ii-antiderivative-x-minus-1-squared",
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      "prompt": "∫(x−1)²dxを計算すると、どれになるか。",
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        "x³/3−x²＋x＋C",
        "x³/3−x²＋x",
        "x³/3−2x²＋x＋C",
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      "explanation": "(x−1)²＝x²−2x＋1を項ごとに積分すると、x³/3−x²＋x＋Cになる。2つ目はCを忘れている。3つ目はxの項の係数を2倍にする計算を取り違えている。4つ目はx³の項を3で割っていない。",
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    {
      "id": "q-ii-find-f3-from-condition",
      "type": "input",
      "prompt": "F′(x)＝4xで、F(1)＝2のとき、F(3)の値を求めよ。",
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      "answer": "18",
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      "explanation": "F(x)＝∫4x dx＝2x²＋Cになる。F(1)＝2＋C＝2よりC＝0なので、F(x)＝2x²。F(3)＝2×9＝18になる。",
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  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅱ (5)微分・積分の考え ア(ｳ) 不定積分及び定積分の意味について理解し、関数の定数倍、和及び差の不定積分や定積分の値を求めること。解説 p.64〜66）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
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      "alt": "F(x)からf(x)への微分の矢印と、f(x)からF(x)+Cへの不定積分の矢印を向かい合わせに描いた図",
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      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "alt": "y＝x³/3+CをC＝−2・0・2で描いた3本のグラフと、x＝1での傾き1の接線3本を並べた図",
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      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "section": "why",
      "caption": "原始関数はCだけ違う平行移動の関係"
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  "updated_at": "2026-10-22"
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