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  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
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  "disclaimer": "単元の並びは学習指導要領に沿って作り、年号や人物などの事実は公開データと照らし合わせています。誤りに気づいたら意見箱からお知らせください。確かめて直します。テストや受験の前には、教科書や先生の説明もあわせて確認してください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「小学校学習指導要領」「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
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  "slug": "riemann-sums-and-definite-integrals",
  "name": "定積分と区分求積法",
  "entity_kind": "concept",
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    "title": "数学Ⅲ",
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    "title": "積分法",
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    "区間[a,b]をn個の長方形に分け、その面積の合計（リーマン和）を作り、n→∞で長方形の幅を0に近づけた極限が定積分になる。",
    "f(x)≦g(x)が区間でつねに成り立てば、定積分の大小関係も∫f(x)dx≦∫g(x)dxのまま保たれる。",
    "この考え方を使うと、直接計算しにくい定積分の値を、上下から挟んで評価できる。"
  ],
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    {
      "term": "区分求積法",
      "note": "長方形の面積の和の極限として定積分をとらえる考え方"
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    {
      "term": "lim(1/n)Σf(k/n)の公式",
      "note": "n→∞で∫₀¹f(x)dxに一致する"
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      "term": "定積分と不等式",
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    {
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      "prompt": "\\(\\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}\\dfrac{1}{n}\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\dfrac{k}{n}\\right)^3\\)を定積分に直して求めよ。",
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      "explanation": "(1／n)Σ(k／n)³は、[0,1]をn等分して高さ(k／n)³の長方形の面積を足した区分求積の式。n→∞で∫₀¹x³dxに一致し、値は1／4。",
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      "id": "q-rs-limit-square",
      "type": "input",
      "prompt": "\\(\\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}\\dfrac{1}{n}\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\dfrac{k}{n}\\right)^2\\)を定積分に直して求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "1/3",
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      "explanation": "(1／n)Σ(k／n)²は∫₀¹x²dxの区分求積。計算すると∫₀¹x²dx＝[x³／3]₀¹＝1／3になる。",
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    {
      "id": "q-rs-inequality",
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      "prompt": "区間0≦x≦1でつねに0≦sin x≦xが成り立つとき、∫₀¹sin xdxと∫₀¹xdxの大小関係として正しいものはどれか。",
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        "∫₀¹sin xdx≦∫₀¹xdx",
        "大小は決まらない",
        "∫₀¹sin xdx＝∫₀¹xdx",
        "∫₀¹sin xdx≧∫₀¹xdx"
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      "explanation": "0≦x≦1でf(x)≦g(x)がつねに成り立てば、∫f(x)dx≦∫g(x)dxが成り立つ。sin x≦xなので∫₀¹sin xdx≦∫₀¹xdx。",
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      "prompt": "区分求積法で定積分を求める考え方を、正しい順に並べよ。",
      "choices": [
        "区間をn個の長方形に分ける",
        "長方形の面積の合計を作る",
        "n→∞で幅を0に近づける",
        "合計が定積分の値に近づく"
      ],
      "answer": [
        0,
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        3
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      "explanation": "①区間をn個の長方形に分ける→②長方形の面積の合計（リーマン和）を作る→③n→∞で長方形の幅を0に近づける→④合計が定積分の値に近づく、という順で考える。",
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  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅲ (3)積分法 内容の取扱い(2)の前段・ア(ｱ)に関連する発展的な内容。区分求積法に基づいて定積分を理解できるようにすることも考えられる。解説 p.79〜82）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
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      "alt": "y＝x²のグラフに、[0,1]を5等分した高さ(k/5)²の長方形5個を右端の高さで描き、曲線とのすき間を示した図",
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      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "caption": "長方形5個のリーマン和と曲線の下の面積のずれ"
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      "alt": "y＝xとy＝sin xのグラフを[0,1]で重ね、sin xがつねにx以下であることと、その下の面積の大小を示した図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "section": "example",
      "caption": "f(x)≦g(x)なら定積分も同じ大小になる"
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