{
  "api_version": "v1",
  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
    "url": "https://manazoo.com/"
  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "内容の正確さには気をつけていますが、すべてが正しいとは限りません。テストや受験の前には、教科書や先生の説明でも確かめてください。間違いを見つけたら意見箱から知らせてください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
  "kind": "entity",
  "slug": "sum-and-independence-of-random-variables",
  "name": "確率変数の和と独立",
  "entity_kind": "concept",
  "wikidata_qid": "Q20820039",
  "wikidata_url": "https://www.wikidata.org/wiki/Q20820039",
  "canonical_url": "https://manazoo.com/math/sum-and-independence-of-random-variables/",
  "api_url": "https://manazoo.com/api/v1/entities/sum-and-independence-of-random-variables.json",
  "course": {
    "slug": "math-b",
    "title": "数学B",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-b/"
  },
  "unit": {
    "slug": "statistical-inference",
    "title": "統計的な推測",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-b/statistical-inference/"
  },
  "period": null,
  "place": null,
  "summary_points": [
    "確率変数Xをa倍してb足すと、期待値はE(aX+b)＝aE(X)+b、分散はV(aX+b)＝a²V(X)になる。",
    "2つの確率変数X,Yが独立とは、P(X＝a,Y＝b)＝P(X＝a)P(Y＝b)が常に成り立つことだ。",
    "独立なX,Yでは、和の期待値も分散も、それぞれの期待値・分散を足すだけで求まる。"
  ],
  "facts": null,
  "key_points": [
    {
      "term": "E(aX+b)",
      "note": "＝aE(X)＋b。1次式を作ると期待値も同じ形で変わる"
    },
    {
      "term": "V(aX+b)",
      "note": "＝a²V(X)。bは散らばりに関係しない"
    },
    {
      "term": "独立",
      "note": "P(X＝a,Y＝b)＝P(X＝a)P(Y＝b)が常に成り立つこと"
    }
  ],
  "summary": null,
  "causality": null,
  "timeline": [],
  "related": {
    "cause": [],
    "result": [],
    "people": [],
    "same_period_japan": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q-sirv-e-of-y",
      "type": "input",
      "prompt": "確率変数Xについて E(X)＝1 のとき、Y＝2X+3の期待値E(Y)を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "5",
      "accept": [],
      "explanation": "E(Y)＝E(2X+3)＝2E(X)+3＝2×1+3＝5。",
      "entities": [
        "sum-and-independence-of-random-variables"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sirv-v-of-y",
      "type": "input",
      "prompt": "確率変数Xについて V(X)＝1/2 のとき、Y＝2X+3の分散V(Y)を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "2",
      "accept": [],
      "explanation": "V(Y)＝V(2X+3)＝2²V(X)＝4×1/2＝2。bを足しても分散は変わらない。",
      "entities": [
        "sum-and-independence-of-random-variables"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sirv-independence-def",
      "type": "choice",
      "prompt": "確率変数X,Yが独立であるとは何か。",
      "choices": [
        "E(X)＝E(Y)であること",
        "Xの値がYの値より常に大きいこと",
        "V(X)＝V(Y)であること",
        "P(X＝a,Y＝b)＝P(X＝a)P(Y＝b)が常に成り立つこと"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "独立の定義は、どんなa,bの組についても確率が積になることだ。期待値や分散が等しいかとは関係ない。",
      "entities": [
        "sum-and-independence-of-random-variables"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sirv-e-of-sum",
      "type": "input",
      "prompt": "E(X)＝1、E(W)＝1/2のとき、E(X+W)を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3/2",
      "accept": [],
      "explanation": "確率変数の和の期待値は、独立かどうかに関わらずE(X+W)＝E(X)+E(W)＝1+1/2＝3/2。",
      "entities": [
        "sum-and-independence-of-random-variables"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    }
  ],
  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学B (2)統計的な推測 ア(ｲ) 確率変数の性質については、その必要性が感じられる場面で取り扱うようにする。解説 p.106）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
    }
  ],
  "media": [
    {
      "src": "/media/sum-and-independence-of-random-variables/linear-transform-number-line.png",
      "alt": "確率変数Xの値0,1,2が、Y＝2X+3によって3,5,7へ移り、期待値も1から5へ移ることを数直線で示した図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "formula",
      "caption": "aX+bで値と期待値がどちらも移る"
    },
    {
      "src": "/media/sum-and-independence-of-random-variables/independent-sum-expectation-variance.png",
      "alt": "XとWそれぞれの期待値・分散を矢印でE(X+W)・V(X+W)に足し合わせ、独立なときだけ分散も単純に足せることを示した図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "example",
      "caption": "独立な確率変数の和は期待値も分散も足し算"
    }
  ],
  "status": "published",
  "placeholder": false,
  "updated_at": "2026-10-24"
}