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  "publisher": {
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  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "単元の並びは学習指導要領に沿って作り、年号や人物などの事実は公開データと照らし合わせています。誤りに気づいたら意見箱からお知らせください。確かめて直します。テストや受験の前には、教科書や先生の説明もあわせて確認してください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「小学校学習指導要領」「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
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  "slug": "velocity-acceleration-and-approximation",
  "name": "速度・加速度と近似式",
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    "title": "数学Ⅲ",
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    "title": "微分法",
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  "summary_points": [
    "直線上を動く点の位置x(t)を微分すると速度v(t)、速度をもう一度微分すると加速度a(t)になる。",
    "v(t)＝0になる時刻は、点の動く向きが変わる（一瞬止まる）瞬間を表す。",
    "xの変化Δxが小さいとき、yの変化はΔy≈f′(x)Δxで見積もれる（一次の近似式）。"
  ],
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    {
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      "note": "位置x(t)の導関数x′(t)"
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      "note": "速度v(t)の導関数、位置の第二次導関数x″(t)"
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    {
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      "id": "q-vaa-acceleration-at-2",
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      "prompt": "位置x(t)＝t³−6t²＋9tで動く点の加速度a(t)を求め、a(2)の値を求めよ。",
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      "id": "q-vaa-square-approximation",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝x²の近似式Δy≈f′(x)Δxを使って、x＝2付近での(2.01)²の値を見積もれ。",
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      "answer": "4.04",
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      "explanation": "f′(2)＝4なので、Δy≈4×0.01＝0.04。f(2)＝4に加えると、(2.01)²≈4＋0.04＝4.04。",
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        "velocity-acceleration-and-approximation"
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    {
      "id": "q-vaa-velocity-zero-choice",
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      "prompt": "位置x(t)＝t³−6t²＋9tで動く点の速度v(t)が0になる時刻t（0＜t）はどれか。",
      "choices": [
        "t＝1、3",
        "t＝1のみ",
        "t＝3のみ",
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      ],
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      "explanation": "v(t)＝3t²−12t＋9＝3(t−1)(t−3)＝0より、t＝1、3。どちらも点が一瞬止まり、動く向きが変わる時刻。",
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        "velocity-acceleration-and-approximation"
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      "id": "q-vaa-approximation-meaning-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "近似式Δy≈f′(x)Δxが成り立つ理由として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "yの値がxの値に比例するから",
        "xの近くでは曲線が接線にほとんど重なって見えるから",
        "f′(x)が必ず一定の値になるから",
        "Δxがどんな大きさでも誤差が0になるから"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "接線の方程式y−f(a)＝f′(a)(x−a)で、x−a＝Δx、y−f(a)＝Δyと置きかえると近似式になる。Δxが小さいほど、曲線と接線のずれは小さくなる。",
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        "velocity-acceleration-and-approximation"
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    }
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  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅲ (2)微分法 イ(ｳ)・内容の取扱い(1) 速度及び加速度と点の位置を表す関数の導関数との関係・「微分係数が…近似を与えていることを理解できるようにする」。解説 p.75、p.78〜79）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
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  "media": [
    {
      "src": "/media/velocity-acceleration-and-approximation/position-velocity-acceleration.png",
      "alt": "x(t)＝t³−6t²＋9tの位置のグラフと、速度v(t)＝0になるt＝1とt＝3の点を示し、その前後で動く向きが変わることを矢印で表した図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "example",
      "caption": "v(t)＝0の瞬間に動く向きが変わる"
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    {
      "src": "/media/velocity-acceleration-and-approximation/linear-approximation-cube.png",
      "alt": "1辺1.00cmの立方体が各辺0.03cmずつ膨らむ様子と、y＝x³のグラフでx＝1での接線を使ってΔy≈3×0.03＝0.09と見積もる計算を並べた図",
      "license": "オリジナル（コードで作図）",
      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
      "source_url": "https://manazoo.com/credits/",
      "section": "why",
      "caption": "近似式Δy≈f′(x)Δxで体積の増え方を見積もる"
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  "updated_at": "2026-10-31"
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