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  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
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  "disclaimer": "単元の並びは学習指導要領に沿って作り、年号や人物などの事実は公開データと照らし合わせています。誤りに気づいたら意見箱からお知らせください。確かめて直します。テストや受験の前には、教科書や先生の説明もあわせて確認してください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「小学校学習指導要領」「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
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  "name": "立体の体積と回転体の体積",
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    "立体をx軸に垂直な薄い断面に分け、断面積S(x)を積分区間で定積分すると立体の体積になる。",
    "x軸の回りに回転させてできる立体は、断面がすべて円になる。半径はその場所でのf(x)の値になる。",
    "回転体の体積はV＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dxで求まる。断面積πr²のrにf(x)を当てはめた形だ。"
  ],
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      "note": "V＝∫ₐᵇS(x)dx（S(x)はxでの断面積）"
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      "term": "回転体の体積の公式",
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      "prompt": "曲線y＝f(x)とx軸で囲まれた図形を、区間a≦x≦bでx軸の回りに1回転させてできる立体の体積Vを表す式はどれか。",
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        "V＝2π∫ₐᵇf(x)dx",
        "V＝π∫ₐᵇf(x)dx",
        "V＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dx",
        "V＝∫ₐᵇf(x)dx"
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      "explanation": "x軸の回りに回転させると、x座標ごとに半径|f(x)|の円の断面（円板）ができる。円の面積はπ{f(x)}²なので、V＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dx。",
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        "volumes-of-solids-of-revolution"
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      "id": "q-vsr-sqrt-x-volume",
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      "explanation": "f(x)＝√xなので{f(x)}²＝x。体積はπ∫₀⁴xdx＝π×[x²／2]₀⁴＝π×8＝8π。",
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        "volumes-of-solids-of-revolution"
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    {
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      "type": "input",
      "prompt": "x軸に垂直な断面が辺の長さxの正方形になっている立体が、0≦x≦2の範囲にある。この立体の体積を求めよ。",
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      "explanation": "断面積はS(x)＝x²なので、体積はV＝∫₀²S(x)dx＝∫₀²x²dx＝[x³／3]₀²＝8／3。",
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      "prompt": "回転体の体積を求める手順を、正しい順に並べよ。",
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        "回転させる図形と軸を確かめる",
        "断面の半径をf(x)で表す",
        "π{f(x)}²を定積分する",
        "体積の値を求める"
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        0,
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      "explanation": "①回転させる図形と回転の軸を確かめる→②x座標ごとの断面（円）の半径をf(x)で表す→③断面積π{f(x)}²を積分区間で定積分する→④体積の値を求める、の順になる。",
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        "volumes-of-solids-of-revolution"
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  "sources": [
    {
      "label": "文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（数学Ⅲ (3)積分法 ア(ｳ) 定積分を利用して、いろいろな曲線で囲まれた図形の面積や立体の体積及び曲線の長さなどを求めること。解説 p.79〜81）",
      "url": "https://www.mext.go.jp/content/20260115-mxt_kyoiku02-100002620_04.pdf"
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      "alt": "y＝√xのグラフに、x＝1付近の縦の帯と、それがx軸の回りに1回転してできる半径√1の円板を並べて描いた図",
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      "author": "Asatte Studio（Manazoo）",
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      "caption": "回転体を薄い円板の積み重ねと見る"
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      "caption": "断面積を積分して体積を求める"
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