{
  "api_version": "v1",
  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
    "url": "https://manazoo.com/"
  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "内容の正確さには気をつけていますが、すべてが正しいとは限りません。テストや受験の前には、教科書や先生の説明でも確かめてください。間違いを見つけたら意見箱から知らせてください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
  "kind": "quiz",
  "unit": {
    "slug": "counting-and-probability",
    "title": "場合の数と確率",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-a/counting-and-probability/"
  },
  "canonical_url": "https://manazoo.com/high/math-a/counting-and-probability/quiz/",
  "questions": [
    {
      "id": "q-comb-8c3-8c5-relation",
      "type": "choice",
      "prompt": "8C3と8C5の関係として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "8C3＝8C5＋1",
        "8C3＝2×8C5",
        "8C3＝8C5",
        "関係はない"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "8人から3人を選ぶことと、残りの5人を選ぶことは同じ分け方なので8C3＝8C5。",
      "entities": [
        "combinations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-comb-arrange-aaabbc",
      "type": "input",
      "prompt": "A、A、A、B、B、Cの6文字を1列に並べる方法は何通りか（同じ文字は区別しない）。",
      "choices": null,
      "answer": "60",
      "accept": [
        "60通り"
      ],
      "explanation": "6!＝720通りのうち、Aどうし3!通り、Bどうし2!通りの並べ替えは区別しない。だから720÷(3!×2!)＝720÷12＝60通り。",
      "entities": [
        "combinations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-comb-choose-4-of-10",
      "type": "input",
      "prompt": "10人から4人の委員会を選ぶ方法は何通りか。",
      "choices": null,
      "answer": "210",
      "accept": [
        "210通り"
      ],
      "explanation": "10C4＝10P4÷4!＝(10×9×8×7)÷24＝210通り。",
      "entities": [
        "combinations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-comb-grid-shortest-path-5c2",
      "type": "input",
      "prompt": "右に2回・上に3回だけ進んで最短距離で進む経路は何通りあるか。",
      "choices": null,
      "answer": "10",
      "accept": [
        "10通り"
      ],
      "explanation": "合計5回の移動のうち、どの2回を「右」にするかを選べばよいので5C2＝10通り。",
      "entities": [
        "combinations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cp-lottery-order-pick",
      "type": "choice",
      "prompt": "当たりくじ2本、はずれくじ3本から2人が順に1本ずつ引く（戻さない）とき、2番目に引く人が当たる確率について正しいのはどれか。",
      "choices": [
        "引く前には確率を求められない",
        "1番目の人より当たりにくい",
        "1番目の人と同じ確率になる",
        "1番目の人より当たりやすい"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "引く前はどちらが引いても当たりくじの位置は決まっていないため、引く順番によらず当たる確率は同じになる。",
      "entities": [
        "conditional-probability"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cp-marbles-multiplication",
      "type": "input",
      "prompt": "箱に赤玉3個、白玉2個の合計5個が入っている。玉を1個ずつ、戻さずに2回取り出すとき、1回目も2回目も赤玉である確率を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3/10",
      "accept": [
        "6/20",
        "0.3"
      ],
      "explanation": "1回目が赤玉である確率はP(A)＝3/5。赤玉が1個減って残り4個中2個が赤玉なのでPA(B)＝2/4＝1/2。乗法定理よりP(A∩B)＝3/5×1/2＝3/10。",
      "entities": [
        "conditional-probability"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cp-notation-pick",
      "type": "choice",
      "prompt": "事象Aが起こったときの事象Bの条件付き確率を表す書き方はどれか。",
      "choices": [
        "PA(B)",
        "PB(A)",
        "P(A)＋P(B)",
        "P(A)×P(B)"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "Aが起こったという条件のもとでBが起こる確率はPA(B)。PB(A)はBが起こったときのAの確率で意味が逆になる。",
      "entities": [
        "conditional-probability"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cp-table-conditional",
      "type": "input",
      "prompt": "ある高校の生徒100人のうち、部活動に入っている生徒は60人。そのうち、めがねをかけている生徒は18人である。部活動に入っている生徒の中から1人を選ぶとき、その生徒がめがねをかけている条件付き確率を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3/10",
      "accept": [
        "18/60",
        "0.3"
      ],
      "explanation": "部活動に入っている60人のうち、めがねの生徒は18人。条件付き確率は18/60＝3/10。",
      "entities": [
        "conditional-probability"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ev-decision-making-pick",
      "type": "choice",
      "prompt": "期待値を使った意思決定の例として適切なものはどれか。",
      "choices": [
        "くじを1回引いた実際の結果だけを見て判断する",
        "確率をすべて無視して賞金の最大値だけで比べる",
        "当たる確率が一番低いくじを選ぶ",
        "2つのくじの期待値を比べて、平均的に得な方を選ぶ"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "期待値は平均的に期待できる値なので、複数の選択肢を比べて意思決定に使うのに向いている。1回の結果だけや、確率を無視した比較は適切な使い方ではない。",
      "entities": [
        "expected-value"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ev-definition-pick",
      "type": "choice",
      "prompt": "期待値の求め方として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "すべての確率を足し合わせる",
        "起こりうる値のそれぞれに確率をかけて合計する",
        "起こりうる値を確率で重みをつけずに平均する",
        "起こりうる値のうち最大の値を選ぶ"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "期待値は、値と確率の積をすべて足し合わせて求める。最大値を選んだり、確率の重みを無視した単純平均は期待値ではない。",
      "entities": [
        "expected-value"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ev-lottery-single-prize",
      "type": "input",
      "prompt": "あるくじは全部で10本。1等2000円が1本、はずれ0円が9本ある。このくじ1本の期待値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "200",
      "accept": [
        "200円"
      ],
      "explanation": "1等が当たる確率は1/10。期待値はE＝2000×1/10＝200円。",
      "entities": [
        "expected-value"
      ],
      "verified": true,
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    },
    {
      "id": "q-ev-roulette-three-outcomes",
      "type": "input",
      "prompt": "あるルーレットで、1等300円が出る確率は1/4、2等50円が出る確率は1/2、はずれ0円が出る確率は1/4である。このルーレット1回の期待値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "100",
      "accept": [
        "100円"
      ],
      "explanation": "1等の期待できる額は300×1/4＝75、2等は50×1/2＝25、はずれは0なので合計E＝75＋25＝100円。",
      "entities": [
        "expected-value"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-irt-coin-four-three-heads",
      "type": "input",
      "prompt": "硬貨を4回投げるとき、表がちょうど3回出る確率を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "1/4",
      "accept": [
        "4/16",
        "0.25"
      ],
      "explanation": "ₙCᵣ＝₄C₃＝4通り。p³(1−p)¹＝(1/2)⁴＝1/16。4×1/16＝1/4。",
      "entities": [
        "independent-and-repeated-trials"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-irt-dice-two-independent",
      "type": "input",
      "prompt": "2つの独立なさいころを投げる。1つ目が1の目、2つ目が偶数の目になる確率を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "1/12",
      "accept": [
        "3/36"
      ],
      "explanation": "1つ目が1の目になる確率は1/6、2つ目が偶数の目になる確率は1/2。独立なので1/6×1/2＝1/12。",
      "entities": [
        "independent-and-repeated-trials"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-irt-independent-formula-pick",
      "type": "choice",
      "prompt": "独立な試行Sで事象A、試行Tで事象Bが起こるとき、両方とも起こる確率を求める正しい式はどれか。",
      "choices": [
        "P(A)＋P(B)",
        "P(A)÷P(B)",
        "P(A)×P(B)",
        "P(A)−P(B)"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "独立な試行の確率は確率の乗法定理により、それぞれの確率の積P(A)×P(B)で求める。足し算は排反事象の和の公式と混同した誤り。",
      "entities": [
        "independent-and-repeated-trials"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-irt-ncr-meaning",
      "type": "choice",
      "prompt": "反復試行の確率の公式ₙCᵣpʳ(1−p)ⁿ⁻ʳのうち、「n回のうちどの回で起こるかを選ぶ場合の数」を表す部分はどれか。",
      "choices": [
        "pʳ(1−p)ⁿ⁻ʳ",
        "ₙCᵣ",
        "pʳ",
        "(1−p)ⁿ⁻ʳ"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "ₙCᵣは、n回のうちどのr回で事象が起こるかを選ぶ場合の数。起こる回の確率はpʳ、残りが起こらない確率は(1−p)ⁿ⁻ʳで表す。",
      "entities": [
        "independent-and-repeated-trials"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-pbp-complement-marbles",
      "type": "input",
      "prompt": "箱に赤玉3個、白玉2個の合計5個が入っている。1個取り出すとき、白玉が出ない確率を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3/5",
      "accept": [
        "0.6"
      ],
      "explanation": "白玉が出る確率はP(白)＝2/5。余事象の確率はP(白が出ない)＝1−2/5＝3/5。",
      "entities": [
        "probability-basic-properties"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-pbp-disjoint-pick",
      "type": "choice",
      "prompt": "サイコロを1回投げるとき、次の2つの事象のうち、互いに排反であるものはどれか。",
      "choices": [
        "「2以下の目が出る」と「3以上の目が出る」",
        "「偶数の目が出る」と「4以下の目が出る」",
        "「3の倍数が出る」と「奇数の目が出る」",
        "「5以上の目が出る」と「偶数の目が出る」"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "2以下の目{1,2}と3以上の目{3,4,5,6}は共通の目がなく、同時には起こらない。これが排反事象。他の組は共通の目を含むため排反ではない。",
      "entities": [
        "probability-basic-properties"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-pbp-frequency-vs-classical",
      "type": "choice",
      "prompt": "次のうち、頻度確率の考え方で確率を求めている例はどれか。",
      "choices": [
        "当たりくじ2本、はずれくじ3本から1本引くとき、当たる確率を2/5と求める",
        "トランプ52枚から1枚引くとき、ハートが出る確率を13/52と求める",
        "同様に確からしい6通りの目から、1の目が出る確率を1/6と求める",
        "画びょうを1000回投げて、針が上を向いて落ちた回数の割合から確率を見積もる"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "多数回の試行をくり返して得られる相対度数から確率を見積もるのが頻度確率。他の3つは根元事象が同様に確からしいとして割合で求める論理的な確率。",
      "entities": [
        "probability-basic-properties"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-pbp-union-multiple-of-3-even",
      "type": "input",
      "prompt": "さいころを1回投げる。「3の倍数が出る」事象をA、「偶数の目が出る」事象をBとするとき、AとBの和事象の確率を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "2/3",
      "accept": [
        "4/6"
      ],
      "explanation": "P(A)＝2/6、P(B)＝3/6、P(A∩B)＝1/6。P(A∪B)＝P(A)＋P(B)−P(A∩B)＝4/6＝2/3。",
      "entities": [
        "probability-basic-properties"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-perm-6-books-3-shelf",
      "type": "input",
      "prompt": "異なる6冊の本から3冊を選んで、本棚に1列に並べる方法は何通りか。",
      "choices": null,
      "answer": "120",
      "accept": [
        "120通り"
      ],
      "explanation": "6冊から3冊を選んで並べるので6P3＝6×5×4＝120通り。",
      "entities": [
        "permutations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-perm-circular-4-people",
      "type": "input",
      "prompt": "大人4人が円形のテーブルに座るとき、何通りの座り方があるか。",
      "choices": null,
      "answer": "6",
      "accept": [
        "6通り"
      ],
      "explanation": "円順列は1人を固定して残りを並べるので(4−1)!＝3!＝6通り。",
      "entities": [
        "permutations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-perm-repeated-digits-4-of-10",
      "type": "choice",
      "prompt": "0から9までの10種類の数字を使って4桁の暗証番号を作るとき（同じ数字をくり返し使ってよい）、何通りできるか。",
      "choices": [
        "1×10⁴",
        "4×10",
        "10×4×9×8",
        "10×9×8×7"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "くり返しを許す重複順列なので、4桁それぞれに10通りずつある。10⁴通り。",
      "entities": [
        "permutations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-perm-zero-factorial",
      "type": "input",
      "prompt": "0!の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "1",
      "accept": [],
      "explanation": "0!は特別に1と決める。0個のものを並べる方法は、何も並べない1通りと考える。こう決めておくと、階乗を使う式が端の場合でもそのまま使える。",
      "entities": [
        "permutations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sap-boxes-times-ribbons",
      "type": "input",
      "prompt": "1号・2号・3号の箱3種類と、赤・青のリボン2種類から1つずつ選んでラッピングする方法は何通りか。",
      "choices": null,
      "answer": "6",
      "accept": [
        "6通り"
      ],
      "explanation": "箱の選び方3通りのそれぞれにリボンの選び方が2通りずつあるので、積の法則より3×2＝6通り。",
      "entities": [
        "sum-and-product-principles"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sap-club-representative-sum",
      "type": "input",
      "prompt": "陸上部員8人、水泳部員5人のうち、どちらか一方の部から大会に出る代表1人を選ぶとき、選び方は何通りか（兼部している人はいない）。",
      "choices": null,
      "answer": "13",
      "accept": [
        "13通り"
      ],
      "explanation": "2つの部を兼ねる人がいないので、陸上部からの8通りと水泳部からの5通りは同時に起こらない。和の法則より8＋5＝13通り。",
      "entities": [
        "sum-and-product-principles"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sap-divisors-of-90",
      "type": "input",
      "prompt": "90の正の約数の個数を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "12",
      "accept": [
        "12個"
      ],
      "explanation": "90＝2×3²×5。指数の選び方は2が0〜1の2通り、3が0〜2の3通り、5が0〜1の2通りなので、積の法則より2×3×2＝12個。",
      "entities": [
        "sum-and-product-principles"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sap-rule-for-mutually-exclusive",
      "type": "choice",
      "prompt": "同時に起こらない2つのことがらの場合の数を求めるときに使う法則はどれか。",
      "choices": [
        "積の法則",
        "組合せの公式",
        "包除原理",
        "和の法則"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "同時に起こらない、つまり互いに排反な2つのことがらでは、どちらかが起こる場合の数はたし算で求められる（和の法則）。",
      "entities": [
        "sum-and-product-principles"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-setc-complement-count-100",
      "type": "input",
      "prompt": "全体集合をU＝{1、2、…、100}とし、Aを3の倍数の集合とする。Uのうち3の倍数でない数は何個あるか。",
      "choices": null,
      "answer": "67",
      "accept": [
        "67個"
      ],
      "explanation": "n(U)＝100、n(A)＝33なので、補集合の要素の個数はn(U)−n(A)＝100−33＝67個。",
      "entities": [
        "set-element-count"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-setc-multiples-of-3-not-5-up-to-100",
      "type": "input",
      "prompt": "1から100までの自然数のうち、3の倍数だが5の倍数でない数は何個あるか。",
      "choices": null,
      "answer": "27",
      "accept": [
        "27個"
      ],
      "explanation": "3の倍数は33個。そのうち5の倍数でもある（15の倍数の）6個を除くと33−6＝27個。",
      "entities": [
        "set-element-count"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-setc-multiples-of-3-up-to-100",
      "type": "input",
      "prompt": "1から100までの自然数のうち、3の倍数は何個あるか。",
      "choices": null,
      "answer": "33",
      "accept": [
        "33個"
      ],
      "explanation": "100以下で最大の3の倍数は99。3、6、…、99の個数は99÷3＝33個。",
      "entities": [
        "set-element-count"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-setc-union-formula",
      "type": "choice",
      "prompt": "n(A∪B)を求める公式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "n(A)＋n(B)−n(A∩B)",
        "n(A)×n(B)",
        "n(A)＋n(B)",
        "n(A)−n(B)"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "AとBの両方に入る要素はn(A)＋n(B)の中で2回数えられているので、n(A∩B)を1回だけ引く。",
      "entities": [
        "set-element-count"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    }
  ]
}