{
  "api_version": "v1",
  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
    "url": "https://manazoo.com/"
  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "内容の正確さには気をつけていますが、すべてが正しいとは限りません。テストや受験の前には、教科書や先生の説明でも確かめてください。間違いを見つけたら意見箱から知らせてください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
  "kind": "quiz",
  "unit": {
    "slug": "differential-and-integral-calculus",
    "title": "微分・積分の考え",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-2/differential-and-integral-calculus/"
  },
  "canonical_url": "https://manazoo.com/high/math-2/differential-and-integral-calculus/quiz/",
  "questions": [
    {
      "id": "q-dcd-average-rate-x2",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝x² について、x＝1からx＝3までの平均変化率を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "4",
      "accept": [],
      "explanation": "平均変化率は(f(3)−f(1))/(3−1)で求める。f(3)＝9、f(1)＝1なので、(9−1)/2＝4。",
      "entities": [
        "differential-coefficient-and-derivative"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dcd-derivative-value-at-1",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝2x³−3x²＋1 の導関数f′(x)を使って、f′(1)の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "0",
      "accept": [],
      "explanation": "f′(x)＝6x²−6xなので、f′(1)＝6×1−6×1＝0。",
      "entities": [
        "differential-coefficient-and-derivative"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dcd-limit-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝x² のx＝2での平均変化率(f(2+h)−f(2))/hは、hを0に近づけるとどの値に近づくか。",
      "choices": [
        "0",
        "2",
        "4",
        "8"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "(x²)′＝2xなので、x＝2での微分係数はf′(2)＝2×2＝4。平均変化率(2＋h)²−2²をhで割ると4＋hになり、hを0に近づけると4に近づく。",
      "entities": [
        "differential-coefficient-and-derivative"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dcd-power-rule-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "導関数の公式(xⁿ)′＝nxⁿ⁻¹を使うと、(x³)′はどれになるか。",
      "choices": [
        "3x",
        "3x²",
        "x³",
        "x²"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "n＝3を(xⁿ)′＝nxⁿ⁻¹に当てはめると、(x³)′＝3x³⁻¹＝3x²になる。",
      "entities": [
        "differential-coefficient-and-derivative"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-di-area-function-derivative",
      "type": "choice",
      "prompt": "S(t)をy＝f(x)のグラフとx軸、直線x＝a、x＝tで囲まれた部分の面積とするとき、S′(t)はどれに等しいか。",
      "choices": [
        "f(t)",
        "f′(t)",
        "0",
        "f(a)"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "tをhだけ増やしたときの面積の増え方S(t+h)−S(t)は、幅h・高さf(t)の長方形に近いので、S′(t)＝f(t)になる。2つ目はaでのf(x)の値で、tとは別の値だ。3つ目はf(x)をさらに微分したもので、S′(t)とは別の関数になる。4つ目はf(t)が0のときしか成り立たない。",
      "entities": [
        "definite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-di-evaluate-integral-0-to-3",
      "type": "input",
      "prompt": "∫₀³(2x＋1)dxの値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "12",
      "accept": [],
      "explanation": "原始関数はF(x)＝x²＋xなので、F(3)＝9＋3＝12、F(0)＝0。F(3)−F(0)＝12−0＝12になる。",
      "entities": [
        "definite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-di-split-interval-sum",
      "type": "input",
      "prompt": "∫₀²f(x)dx＝5、∫₂⁶f(x)dx＝9のとき、∫₀⁶f(x)dxの値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "14",
      "accept": [],
      "explanation": "区間を途中のx＝2でつなげられるので、∫₀⁶f(x)dx＝∫₀²f(x)dx＋∫₂⁶f(x)dx＝5＋9＝14になる。",
      "entities": [
        "definite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-di-swap-bounds-sign",
      "type": "choice",
      "prompt": "∫₂⁵f(x)dx＝12のとき、∫₅²f(x)dxの値はどれか。",
      "choices": [
        "12",
        "0",
        "24",
        "−12"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "上端と下端を入れ替えると定積分の値の符号が反転するので、∫₅²f(x)dx＝−∫₂⁵f(x)dx＝−12になる。2つ目は符号を変えていない。3つ目・4つ目はこの性質に合わない値だ。",
      "entities": [
        "definite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dia-area-below-axis-x2-minus-9",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝x²−9について、区間−3≦x≦3でy＝f(x)のグラフとx軸にはさまれた部分の面積を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "36",
      "accept": [],
      "explanation": "この区間ではf(x)≤0なので、∫₋₃³(x²−9)dx＝−36と負の値になる。面積はその符号を変えて36になる。",
      "entities": [
        "definite-integrals-and-area"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dia-area-between-parabola-and-line",
      "type": "choice",
      "prompt": "放物線y＝x²と直線y＝2xで囲まれた部分の面積を求める式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "∫₀²(x²−2x)dx",
        "∫₀²(2x−x²)dx",
        "∫₀²2x dx",
        "∫₀²x²dx"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "交点はx²＝2xよりx＝0,2。区間0≦x≦2では直線の方が上にあるので、面積は∫₀²(2x−x²)dxになる。2つ目は上下を逆にしていて値が負になる。3つ目は放物線の分を引いておらず、4つ目は直線の分を引いていない。",
      "entities": [
        "definite-integrals-and-area"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dia-area-between-two-graphs-formula",
      "type": "choice",
      "prompt": "y＝f(x)のグラフがy＝g(x)のグラフより上にある区間a≦x≦bで、2つのグラフに囲まれた部分の面積Sを定積分で表すとどれになるか。",
      "choices": [
        "S＝∫ₐᵇ{g(x)−f(x)}dx",
        "S＝∫ₐᵇ{f(x)−g(x)}dx",
        "S＝∫ₐᵇf(x)g(x)dx",
        "S＝∫ₐᵇf(x)dx＋∫ₐᵇg(x)dx"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "上のグラフから下のグラフを引いて積分するので、S＝∫ₐᵇ{f(x)−g(x)}dxになる。2つ目は上下を逆にしていて値が負になる。3つ目は引く代わりに足している。4つ目は差ではなく積を積分している。",
      "entities": [
        "definite-integrals-and-area"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dia-parabola-window-4m-3m",
      "type": "input",
      "prompt": "ある橋の欄干の飾り窓は、放物線とみなせる形で、幅4m・高さ3mの左右対称な形をしている。この飾り窓の面積を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "8",
      "accept": [
        "8m²",
        "8m2"
      ],
      "explanation": "底の真ん中を原点にすると、−2≦x≦2でy＝(3/4)(4−x²)という式になる。これを積分すると面積は8（m²）になる。",
      "entities": [
        "definite-integrals-and-area"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-fide-increasing-at-2",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝x³−3x のx＝2におけるようすとして正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "増加している",
        "極小である",
        "減少している",
        "極大である"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "f′(x)＝3x²−3なので、f′(2)＝12−3＝9＞0。f′(x)＞0の区間なので、x＝2でf(x)は増加している。",
      "entities": [
        "function-increase-decrease-and-extrema"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-fide-local-min-value",
      "type": "input",
      "prompt": "g(x)＝x³−3x² の極小値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "−4",
      "accept": [
        "－4"
      ],
      "explanation": "g′(x)＝3x²−6x＝3x(x−2)より、g′(x)＝0はx＝0, 2。増減表を作ると、x＝0の前後で＋から－に変わり極大、x＝2の前後で－から＋に変わり極小。極小値はg(2)＝8−12＝−4。",
      "entities": [
        "function-increase-decrease-and-extrema"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-fide-negative-interval-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "y＝x³−3x で、f′(x)＜0となるxの範囲はどれか。",
      "choices": [
        "x＜−1 または x＞1",
        "x＞1",
        "−1＜x＜1",
        "x＜−1"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "f′(x)＝3x²−3＝3(x−1)(x+1)＜0を解くと、−1＜x＜1。この区間でf(x)は減少する。",
      "entities": [
        "function-increase-decrease-and-extrema"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-fide-x3-not-extremum-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "y＝x³ について、x＝0でのようすとして正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "f′(0)は0にならない",
        "x＝0で極大になる",
        "x＝0で極小になる",
        "f′(0)＝0だが極値ではない"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "f′(x)＝3x²はx＝0でf′(0)＝0になるが、x＝0の前後でf′(x)の符号は＋のまま変わらない。符号が変わらないので、x＝0は極値ではない。",
      "entities": [
        "function-increase-decrease-and-extrema"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ii-antiderivative-x-minus-1-squared",
      "type": "choice",
      "prompt": "∫(x−1)²dxを計算すると、どれになるか。",
      "choices": [
        "x³/3−x²＋x＋C",
        "x³/3−x²＋x",
        "x³/3−2x²＋x＋C",
        "x³−x²＋x＋C"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "(x−1)²＝x²−2x＋1を項ごとに積分すると、x³/3−x²＋x＋Cになる。2つ目はCを忘れている。3つ目はxの項の係数を2倍にする計算を取り違えている。4つ目はx³の項を3で割っていない。",
      "entities": [
        "indefinite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ii-antiderivative-x2-plus-2x",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝x²＋2xの不定積分として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "x³/3＋2x²＋C",
        "x³/3＋x²＋C",
        "x³＋x²＋C",
        "x³/3＋x²"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "f(x)＝x²＋2xを項ごとに積分すると、x²の不定積分はx³/3、2xの不定積分はx²になるので、x³/3＋x²＋Cになる。2つ目はCを忘れている。3つ目はx³の項を3で割っていない。4つ目は2xの不定積分をx²でなく2x²と取り違えている。",
      "entities": [
        "indefinite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ii-find-f0-from-condition",
      "type": "input",
      "prompt": "F′(x)＝6x−4で、F(1)＝5のとき、F(0)の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "6",
      "accept": [],
      "explanation": "F(x)＝∫(6x−4)dx＝3x²−4x＋Cになる。F(1)＝3−4＋C＝5よりC＝6なので、F(x)＝3x²−4x＋6。F(0)＝0−0＋6＝6になる。",
      "entities": [
        "indefinite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ii-find-f3-from-condition",
      "type": "input",
      "prompt": "F′(x)＝4xで、F(1)＝2のとき、F(3)の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "18",
      "accept": [],
      "explanation": "F(x)＝∫4x dx＝2x²＋Cになる。F(1)＝2＋C＝2よりC＝0なので、F(x)＝2x²。F(3)＝2×9＝18になる。",
      "entities": [
        "indefinite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-mmd-box-18cm",
      "type": "input",
      "prompt": "1辺18cmの正方形の厚紙から、同じように四隅を1辺x cmの正方形で切り取ってふたのない箱を作るとき、容積を最大にするxの値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3",
      "accept": [
        "3cm"
      ],
      "explanation": "容積はV(x)＝x(18−2x)²（0＜18−2xかつx＞0より0＜x＜9）。展開してV′(x)を求めると12(x−3)(x−9)になり、0＜x＜9の中で極値を与えるのはx＝3だけ。よって容積が最大になるのはx＝3のとき。",
      "entities": [
        "maximum-minimum-with-derivatives"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-mmd-max-on-restricted-interval",
      "type": "input",
      "prompt": "y＝x³−3x の−2≤x≤0における最大値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "2",
      "accept": [],
      "explanation": "区間内の極値はx＝−1での極大値f(−1)＝2。両端の値はf(−2)＝−2、f(0)＝0。比べると最大値は2（x＝−1）。",
      "entities": [
        "maximum-minimum-with-derivatives"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-mmd-root-count-k1-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "方程式x³−3x＝1 の実数解は何個か。",
      "choices": [
        "0個",
        "1個",
        "2個",
        "3個"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "y＝x³−3xの極大値は2、極小値は−2。k＝1は−2＜1＜2の範囲なので、y＝x³−3xとy＝1のグラフは3点で交わり、実数解は3個。",
      "entities": [
        "maximum-minimum-with-derivatives"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-mmd-root-count-k3-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "方程式x³−3x＝3 の実数解は何個か。",
      "choices": [
        "0個",
        "1個",
        "2個",
        "3個"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "y＝x³−3xの極大値は2、極小値は−2。k＝3は極大値2より大きいので、y＝x³−3xとy＝3のグラフは1点でしか交わらず、実数解は1個。",
      "entities": [
        "maximum-minimum-with-derivatives"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-tle-external-point-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "点(1, −3)からy＝x²に引いた接線のうち、傾きが負であるものはどれか。",
      "choices": [
        "y＝2x−1",
        "y＝−6x＋9",
        "y＝−2x−1",
        "y＝6x−9"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "接点をt＝−1とすると、接線はy−1＝2×(−1)(x−(−1))より、y＝−2x−1になる。もう一方のt＝3のときはy＝6x−9で傾きは正。",
      "entities": [
        "tangent-line-equation"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-tle-slope-at-3",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝x²−4x＋5 のx＝3における接線の傾きを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "2",
      "accept": [],
      "explanation": "接線の傾きは微分係数f′(a)そのもの。f′(x)＝2x−4なので、f′(3)＝2×3−4＝2。",
      "entities": [
        "tangent-line-equation"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-tle-tangent-count-from-point",
      "type": "input",
      "prompt": "点(2, 0)からy＝x²に引ける接線は何本あるか。数字で答えよう。",
      "choices": null,
      "answer": "2",
      "accept": [
        "2本"
      ],
      "explanation": "接点を(t, t²)とおくと接線はy＝2tx−t²。点(2, 0)を通る条件は0＝4t−t²、つまりt(t−4)＝0でt＝0, 4の2つ。接点が2つ見つかるので接線も2本。",
      "entities": [
        "tangent-line-equation"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-tle-tangent-intercept",
      "type": "input",
      "prompt": "曲線y＝x³−2x＋1上の点(−1, f(−1))における接線の方程式をy＝ax＋bの形で求めるとき、bの値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3",
      "accept": [],
      "explanation": "f(−1)＝−1＋2＋1＝2、f′(x)＝3x²−2よりf′(−1)＝3−2＝1。接線はy−2＝1(x+1)、整理するとy＝x＋3なのでb＝3。",
      "entities": [
        "tangent-line-equation"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    }
  ]
}