{
  "api_version": "v1",
  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
    "url": "https://manazoo.com/"
  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "単元の並びは学習指導要領に沿って作り、年号や人物などの事実は公開データと照らし合わせています。誤りに気づいたら意見箱からお知らせください。確かめて直します。テストや受験の前には、教科書や先生の説明もあわせて確認してください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「小学校学習指導要領」「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
  "kind": "quiz",
  "unit": {
    "slug": "integral-calculus",
    "title": "積分法",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-3/integral-calculus/"
  },
  "canonical_url": "https://manazoo.com/high/math-3/integral-calculus/quiz/",
  "questions": [
    {
      "id": "q-abc-cycloid-area",
      "type": "input",
      "prompt": "半径aのサイクロイドx＝a(θ－sinθ)、y＝a(1－cosθ)（0≦θ≦2π）の1アーチと x軸で囲まれた面積は3πa²になる。a＝1のときの面積を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3π",
      "accept": [],
      "explanation": "媒介変数表示された曲線の面積は∫ydxをθの積分に置き換えて求める。サイクロイド1アーチの面積は3πa²になることが知られていて、a＝1なら3π。",
      "entities": [
        "area-of-regions-bounded-by-curves"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-abc-order-steps",
      "type": "order",
      "prompt": "2つの曲線で囲まれた図形の面積を求める手順を、正しい順に並べよ。",
      "choices": [
        "交点のx座標を求める",
        "どちらの関数が上にあるか確かめる",
        "上－下の式を定積分する",
        "値を求めて面積とする"
      ],
      "answer": [
        0,
        1,
        2,
        3
      ],
      "accept": [],
      "explanation": "①2つの式を連立して交点のx座標を求める→②その区間でどちらの関数が上にあるかを確かめる→③上から下を引いた式を積分区間で定積分する→④値を求めて面積とする、の順になる。",
      "entities": [
        "area-of-regions-bounded-by-curves"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-abc-parabola-line-area",
      "type": "input",
      "prompt": "y＝x＋2とy＝x²で囲まれた図形の面積を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "9/2",
      "accept": [],
      "explanation": "2つのグラフの交点はx＋2＝x²よりx²－x－2＝0、(x－2)(x＋1)＝0でx＝－1,2。－1≦x≦2でx＋2≧x²なので、面積は∫₋₁²{(x＋2)－x²}dx＝9／2。",
      "entities": [
        "area-of-regions-bounded-by-curves"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-abc-which-integral",
      "type": "choice",
      "prompt": "区間a≦x≦bでつねにf(x)≧g(x)のとき、2つの曲線y＝f(x)とy＝g(x)で囲まれた図形の面積Sを表す式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "S＝∫ₐᵇ{f(x)－g(x)}dx",
        "S＝∫ₐᵇ{f(x)＋g(x)}dx",
        "S＝∫ₐᵇf(x)dx",
        "S＝∫ₐᵇg(x)dx"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "上にある関数から下にある関数を引いた差を積分すると、はさまれた部分の面積になる。S＝∫ₐᵇ{f(x)－g(x)}dx。",
      "entities": [
        "area-of-regions-bounded-by-curves"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ald-curve-length",
      "type": "input",
      "prompt": "曲線\\(y=\\dfrac{2}{3}x^{3/2}\\)の0≦x≦3の部分の長さを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "14/3",
      "accept": [],
      "explanation": "f'(x)＝√xなので、1＋(f'(x))²＝1＋x。長さは\\(L=\\displaystyle\\int_{0}^{3}\\sqrt{1+x}\\,dx\\) \\(=\\left[\\dfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\\right]_{0}^{3}\\) \\(=\\dfrac{2}{3}(8-1)=\\dfrac{14}{3}\\)。",
      "entities": [
        "arc-length-and-distance-traveled"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ald-displacement-vs-distance",
      "type": "input",
      "prompt": "数直線上を動く点Pの速度がv(t)＝2t－4（0≦t≦3）のとき、t＝0からt＝3までの点Pの位置の変化（変位）を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "-3",
      "accept": [],
      "explanation": "位置の変化はvを定積分した値。∫₀³(2t－4)dt＝[t²－4t]₀³＝(9－12)－0＝－3。負の値は、最終的に出発点より3だけ戻っていることを表す。",
      "entities": [
        "arc-length-and-distance-traveled"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ald-distance-traveled",
      "type": "input",
      "prompt": "数直線上を動く点Pの速度がv(t)＝2t－4（0≦t≦3）のとき、t＝0からt＝3までの点Pの道のりを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "5",
      "accept": [],
      "explanation": "道のりは|v|を定積分した値。v(t)はt＝2で0になり、0≦t＜2では負、2＜t≦3では正。道のり＝∫₀²(4－2t)dt＋∫₂³(2t－4)dt＝4＋1＝5。変位の－3とは違う値になる。",
      "entities": [
        "arc-length-and-distance-traveled"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ald-formula-pick",
      "type": "choice",
      "prompt": "曲線y＝f(x)の区間a≦x≦bの部分の長さLを表す式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "L＝∫ₐᵇf'(x)dx",
        "L＝∫ₐᵇ|f(x)|dx",
        "L＝∫ₐᵇ{f'(x)}²dx",
        "L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dx"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "曲線の長さは、各点での接線の傾きf'(x)を使って、L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dxで求まる。三平方の定理でds²＝dx²＋dy²と考えた式。",
      "entities": [
        "arc-length-and-distance-traveled"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ibp-formula-pick",
      "type": "choice",
      "prompt": "部分積分法の公式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "∫fg'dx＝f'g'－∫fgdx",
        "∫fg'dx＝fg",
        "∫fg'dx＝fg＋∫f'gdx",
        "∫fg'dx＝fg－∫f'gdx"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "積の微分法(fg)'＝f'g＋fg'を積分して並べ替えると、∫fg'dx＝fg－∫f'gdxになる。これが部分積分法の公式。",
      "entities": [
        "integration-by-parts"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ibp-order-steps",
      "type": "order",
      "prompt": "∫x eˣdxを部分積分法で求める手順を、正しい順に並べよ。",
      "choices": [
        "f＝x、g'＝eˣと決める",
        "f'＝1、g＝eˣを求める",
        "x eˣ－∫1×eˣdxの形にする",
        "eˣを積分して答えをまとめる"
      ],
      "answer": [
        0,
        1,
        2,
        3
      ],
      "accept": [],
      "explanation": "①f＝x、g'＝eˣと決める→②f'＝1、g＝eˣを求める→③∫fg'dx＝fg－∫f'gdxに当てはめる→④∫eˣdx＝eˣを計算して答えをまとめる、の順になる。",
      "entities": [
        "integration-by-parts"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ibp-why-choose-f",
      "type": "choice",
      "prompt": "∫x eˣdxをf＝x、g'＝eˣと置いて部分積分法を使うのがよい理由はどれか。",
      "choices": [
        "xとeˣはどちらを選んでも同じ手間だから",
        "eˣは微分すると0になるから",
        "xは微分すると1になり、1回の部分積分法で終わるから",
        "部分積分法では順番を選べないから"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "fに選んだxは微分すると1になり、それ以上積分を繰り返さずに済む。g'に選んだeˣは積分してもeˣのままで扱いやすい。この組み合わせなら1回の部分積分法で答えが出る。",
      "entities": [
        "integration-by-parts"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ibp-x-sin-x",
      "type": "choice",
      "prompt": "∫x cos xdxを部分積分法で求めるとき、f＝x、g'＝cos xと置いた結果として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "x cos x＋sin x＋C",
        "x sin x－cos x＋C",
        "x sin x＋C",
        "x sin x＋cos x＋C"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "f＝x、g'＝cos xと置くと、f'＝1、g＝sin x。公式に当てはめてx sin x－∫1×sin xdx＝x sin x－(－cos x)＝x sin x＋cos x＋C。",
      "entities": [
        "integration-by-parts"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ibs-linear-cube-result",
      "type": "choice",
      "prompt": "∫(2x－1)³dxの不定積分として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "(2x－1)³／3＋C",
        "(2x－1)⁴／4＋C",
        "(2x－1)⁴＋C",
        "(2x－1)⁴／8＋C"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "t＝2x－1と置くとdt＝2dxなので、∫t³×(dt／2)＝(1／2)×t⁴／4＝t⁴／8。tを2x－1に戻して(2x－1)⁴／8＋C。",
      "entities": [
        "integration-by-substitution"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ibs-linear-cube",
      "type": "choice",
      "prompt": "∫(3x－2)⁴dxを置換積分法で求めるとき、適切な置き方はどれか。",
      "choices": [
        "t＝(3x－2)⁴",
        "t＝x⁴",
        "t＝3x－2",
        "t＝3x⁴"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "ax＋bの形がまとまって現れているときは、そのまとまりをtと置くのが置換積分法の基本形。ここでは3x－2＝tと置く。",
      "entities": [
        "integration-by-substitution"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ibs-order-steps",
      "type": "order",
      "prompt": "∫(5x＋1)²dxを置換積分法で求める手順を、正しい順に並べよ。",
      "choices": [
        "t＝5x＋1と置く",
        "dt＝5dxを作る",
        "∫t²×(dt／5)の形にする",
        "積分してtを5x＋1に戻す"
      ],
      "answer": [
        0,
        1,
        2,
        3
      ],
      "accept": [],
      "explanation": "①まとまりをtと置く→②両辺を微分してdt＝5dxを作る→③dxをdt／5に置き換えてtだけの式にする→④tで積分してからtを5x＋1に戻す、という順になる。",
      "entities": [
        "integration-by-substitution"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ibs-why-dt",
      "type": "choice",
      "prompt": "t＝ax＋bと置いたとき、dxをdtで表すとどうなるか（aは0でない定数）。",
      "choices": [
        "dx＝a dt",
        "dx＝dt",
        "dx＝dt－b",
        "dx＝dt／a"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "t＝ax＋bをxで微分するとdt／dx＝aなので、dt＝a dx。両辺をaで割って、dx＝dt／aになる。",
      "entities": [
        "integration-by-substitution"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rs-inequality",
      "type": "choice",
      "prompt": "区間0≦x≦1でつねに0≦sin x≦xが成り立つとき、∫₀¹sin xdxと∫₀¹xdxの大小関係として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "∫₀¹sin xdx≦∫₀¹xdx",
        "大小は決まらない",
        "∫₀¹sin xdx＝∫₀¹xdx",
        "∫₀¹sin xdx≧∫₀¹xdx"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "0≦x≦1でf(x)≦g(x)がつねに成り立てば、∫f(x)dx≦∫g(x)dxが成り立つ。sin x≦xなので∫₀¹sin xdx≦∫₀¹xdx。",
      "entities": [
        "riemann-sums-and-definite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rs-limit-cube",
      "type": "input",
      "prompt": "\\(\\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}\\dfrac{1}{n}\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\dfrac{k}{n}\\right)^3\\)を定積分に直して求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "1/4",
      "accept": [],
      "explanation": "(1／n)Σ(k／n)³は、[0,1]をn等分して高さ(k／n)³の長方形の面積を足した区分求積の式。n→∞で∫₀¹x³dxに一致し、値は1／4。",
      "entities": [
        "riemann-sums-and-definite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rs-limit-square",
      "type": "input",
      "prompt": "\\(\\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}\\dfrac{1}{n}\\sum_{k=1}^{n}\\left(\\dfrac{k}{n}\\right)^2\\)を定積分に直して求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "1/3",
      "accept": [],
      "explanation": "(1／n)Σ(k／n)²は∫₀¹x²dxの区分求積。計算すると∫₀¹x²dx＝[x³／3]₀¹＝1／3になる。",
      "entities": [
        "riemann-sums-and-definite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rs-order-steps",
      "type": "order",
      "prompt": "区分求積法で定積分を求める考え方を、正しい順に並べよ。",
      "choices": [
        "区間をn個の長方形に分ける",
        "長方形の面積の合計を作る",
        "n→∞で幅を0に近づける",
        "合計が定積分の値に近づく"
      ],
      "answer": [
        0,
        1,
        2,
        3
      ],
      "accept": [],
      "explanation": "①区間をn個の長方形に分ける→②長方形の面積の合計（リーマン和）を作る→③n→∞で長方形の幅を0に近づける→④合計が定積分の値に近づく、という順で考える。",
      "entities": [
        "riemann-sums-and-definite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vdi-combo-antideriv",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝2cos x＋3／xの不定積分として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "2cos x＋3log|x|＋C（積分していない項が残る）",
        "2sin x＋3log|x|＋C",
        "－2sin x＋3log|x|＋C",
        "2sin x＋3x²／2＋C"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "不定積分は和に分けて計算できる。2cos xの不定積分は2sin x、3／xの不定積分は3log|x|。足して2sin x＋3log|x|＋C。",
      "entities": [
        "various-indefinite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vdi-exp-antideriv",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝4eˣの不定積分として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "4eˣ＋C",
        "4eˣ／x＋C",
        "4xeˣ＋C",
        "4eˣ"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "eˣは微分しても積分してもeˣのままになる関数。だから4eˣの不定積分は4eˣ＋C。2つ目はCを忘れている。3つ目はxeˣと取り違えている。",
      "entities": [
        "various-indefinite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vdi-one-over-x-antideriv",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝5／xの不定積分として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "5x＋C",
        "5log|x|＋C",
        "5／(2x²)＋C",
        "5log x＋C（xが負でも使える）"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "1／xの不定積分はlog|x|＋C（xの符号にかかわらず定義できるよう絶対値をつける）。だから5／xの不定積分は5log|x|＋C。3つ目はxが正のときしか使えない式になっている。",
      "entities": [
        "various-indefinite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vdi-sin-cos-antideriv",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝3sin x－2cos xの不定積分として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "3cos x－2sin x＋C",
        "－3cos x－2sin x＋C",
        "－3cos x＋2sin x＋C",
        "3cos x＋2sin x＋C"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "sin xの不定積分は－cos x、cos xの不定積分はsin xなので、3sin xの不定積分は－3cos x、－2cos xの不定積分は－2sin x。足して－3cos x－2sin x＋C。1つ目は符号を取り違えている。",
      "entities": [
        "various-indefinite-integrals"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vsr-cross-section",
      "type": "input",
      "prompt": "x軸に垂直な断面が辺の長さxの正方形になっている立体が、0≦x≦2の範囲にある。この立体の体積を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "8/3",
      "accept": [],
      "explanation": "断面積はS(x)＝x²なので、体積はV＝∫₀²S(x)dx＝∫₀²x²dx＝[x³／3]₀²＝8／3。",
      "entities": [
        "volumes-of-solids-of-revolution"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vsr-formula-pick",
      "type": "choice",
      "prompt": "曲線y＝f(x)とx軸で囲まれた図形を、区間a≦x≦bでx軸の回りに1回転させてできる立体の体積Vを表す式はどれか。",
      "choices": [
        "V＝2π∫ₐᵇf(x)dx",
        "V＝π∫ₐᵇf(x)dx",
        "V＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dx",
        "V＝∫ₐᵇf(x)dx"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "x軸の回りに回転させると、x座標ごとに半径|f(x)|の円の断面（円板）ができる。円の面積はπ{f(x)}²なので、V＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dx。",
      "entities": [
        "volumes-of-solids-of-revolution"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vsr-order-steps",
      "type": "order",
      "prompt": "回転体の体積を求める手順を、正しい順に並べよ。",
      "choices": [
        "回転させる図形と軸を確かめる",
        "断面の半径をf(x)で表す",
        "π{f(x)}²を定積分する",
        "体積の値を求める"
      ],
      "answer": [
        0,
        1,
        2,
        3
      ],
      "accept": [],
      "explanation": "①回転させる図形と回転の軸を確かめる→②x座標ごとの断面（円）の半径をf(x)で表す→③断面積π{f(x)}²を積分区間で定積分する→④体積の値を求める、の順になる。",
      "entities": [
        "volumes-of-solids-of-revolution"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vsr-sqrt-x-volume",
      "type": "input",
      "prompt": "y＝√xとx軸、直線x＝4で囲まれた図形をx軸の回りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "8π",
      "accept": [],
      "explanation": "f(x)＝√xなので{f(x)}²＝x。体積はπ∫₀⁴xdx＝π×[x²／2]₀⁴＝π×8＝8π。",
      "entities": [
        "volumes-of-solids-of-revolution"
      ],
      "verified": true,
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    }
  ]
}