{
  "api_version": "v1",
  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
    "url": "https://manazoo.com/"
  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "単元の並びは学習指導要領に沿って作り、年号や人物などの事実は公開データと照らし合わせています。誤りに気づいたら意見箱からお知らせください。確かめて直します。テストや受験の前には、教科書や先生の説明もあわせて確認してください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「小学校学習指導要領」「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
  "kind": "quiz",
  "unit": {
    "slug": "limits",
    "title": "極限",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-3/limits/"
  },
  "canonical_url": "https://manazoo.com/high/math-3/limits/quiz/",
  "questions": [
    {
      "id": "q-cif-composite-value-input",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝2x＋1、g(x)＝x² のとき、(g∘f)(2)の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "25",
      "accept": [],
      "explanation": "f(2)＝2×2＋1＝5。これをgに入れてg(5)＝5²＝25。",
      "entities": [
        "composite-and-inverse-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cif-inverse-formula-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝2x＋1 の逆関数はどれか。",
      "choices": [
        "(x＋1)／2",
        "(x−1)×2",
        "2x−1",
        "(x−1)／2"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "y＝2x＋1をxについて解くとx＝(y−1)／2。xとyを入れかえるとf⁻¹(x)＝(x−1)／2になる。",
      "entities": [
        "composite-and-inverse-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cif-inverse-value-input",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝3x−2 の逆関数f⁻¹(x)について、f⁻¹(4)の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "2",
      "accept": [],
      "explanation": "y＝3x−2をxについて解くとx＝(y＋2)／3なので、f⁻¹(x)＝(x＋2)／3。f⁻¹(4)＝(4＋2)／3＝2。",
      "entities": [
        "composite-and-inverse-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cif-symmetry-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "y＝f(x)とy＝f⁻¹(x)のグラフの関係として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "直線y＝xに関して対称",
        "原点に関して対称",
        "平行になる",
        "x軸に関して対称"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "逆関数はxとyを入れかえてつくるので、もとの関数のグラフと直線y＝xに関して対称になる。",
      "entities": [
        "composite-and-inverse-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cof-continuity-condition-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "関数f(x)がx＝aで連続であるための条件はどれか。",
      "choices": [
        "極限値が存在すればよい",
        "f(a)が定義されていればよい",
        "f(a)が定義され、極限値が存在し、両者が等しい",
        "f(a)が存在しなくてもよい"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "f(a)が定義され、極限値が存在し、その2つが一致する、という3つがすべて成り立つことが連続の条件。",
      "entities": [
        "continuity-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cof-exponential-continuous-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "指数関数y＝2ˣの連続性について正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "x＝0でのみ不連続",
        "連続ではない",
        "負の数でのみ不連続",
        "定義域内のすべての点で連続"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "指数関数の定義域はすべての実数で、そのすべての点で連続であることが知られている。",
      "entities": [
        "continuity-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cof-limit-value-input",
      "type": "input",
      "prompt": "f(x)＝(x²−4)／(x−2)（x≠2）について、x→2での極限値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "4",
      "accept": [],
      "explanation": "x≠2のときf(x)＝(x−2)(x＋2)／(x−2)＝x＋2なので、極限値は2＋2＝4。",
      "entities": [
        "continuity-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-cof-removable-example-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "f(x)＝(x²−4)／(x−2)（x≠2）、f(2)＝5と定めるとき、x＝2での連続性はどれか。",
      "choices": [
        "定義されていない",
        "連続である",
        "不連続である",
        "判定できない"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "x→2での極限値は4だが、f(2)＝5なので一致しない。よってx＝2で不連続。",
      "entities": [
        "continuity-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-glim-converge-condition-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "数列{rⁿ}が収束するのは、rがどんな値のときか。",
      "choices": [
        "r＝1または|r|＜1",
        "rは整数",
        "|r|＞1",
        "r＞0"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "{rⁿ}はr＝1または|r|＜1のとき収束し、それ以外（r＞1やr≦−1）では発散する。",
      "entities": [
        "geometric-sequence-limit"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-glim-half-power-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "lim(n→∞) (1/2)ⁿ の値はどれか。",
      "choices": [
        "0",
        "1/2",
        "∞",
        "1"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "公比1/2は絶対値が1未満なので、(1/2)ⁿはnを大きくするほど0に近づく。",
      "entities": [
        "geometric-sequence-limit"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-glim-r2-diverge-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "r＝2のとき、lim(n→∞) rⁿ はどうなるか。",
      "choices": [
        "∞に発散する",
        "2に収束する",
        "振動する",
        "0に収束する"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "r＝2は1より大きいので、2ⁿはnを大きくするほどどこまでも大きくなり、∞に発散する。",
      "entities": [
        "geometric-sequence-limit"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-glim-ratio-limit-input",
      "type": "input",
      "prompt": "lim(n→∞) (3ⁿ−1)／(3ⁿ＋1) を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "1",
      "accept": [],
      "explanation": "分母・分子を3ⁿで割ると(1−(1/3)ⁿ)／(1＋(1/3)ⁿ)になり、(1/3)ⁿは0に収束するので、1／1＝1に収束する。",
      "entities": [
        "geometric-sequence-limit"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-iser-convergence-condition-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "初項a（a≠0）、公比rの無限等比級数が収束する条件はどれか。",
      "choices": [
        "rは整数のみ",
        "|r|≦1",
        "r＞0",
        "|r|＜1"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "無限等比級数はa≠0のとき、公比の絶対値が1未満（|r|＜1）のときだけ収束する。",
      "entities": [
        "infinite-series"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-iser-geometric-sum-input",
      "type": "input",
      "prompt": "初項3、公比1／3の無限等比級数の和を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "4.5",
      "accept": [
        "9/2"
      ],
      "explanation": "公式a／(1−r)にa＝3、r＝1／3を代入すると、3／(1−1/3)＝3／(2/3)＝4.5になる。",
      "entities": [
        "infinite-series"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-iser-ratio2-diverge-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "初項2、公比2の無限等比級数2＋4＋8＋…はどうなるか。",
      "choices": [
        "2に収束する",
        "0に収束する",
        "4に収束する",
        "発散する"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "公比2は絶対値が1以上なので、この無限等比級数は収束せず発散する。",
      "entities": [
        "infinite-series"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-iser-repeating-decimal-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "循環小数0.272727…を無限等比級数の和として分数で表すとどれか。",
      "choices": [
        "3／11",
        "3／10",
        "11／3",
        "27／100"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "0.27＋0.0027＋…ではなく、0.27を初項・0.01を公比とする無限等比級数とみると、和は0.27／(1−0.01)＝0.27／0.99＝3／11になる。",
      "entities": [
        "infinite-series"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-lof-difference-of-squares-input",
      "type": "input",
      "prompt": "lim(x→3) (x²−9)／(x−3) を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "6",
      "accept": [],
      "explanation": "分子をx²−9＝(x−3)(x＋3)と因数分解して約分すると、x＋3になる。x＝3を代入して3＋3＝6。",
      "entities": [
        "limits-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-lof-sin-limit-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "lim(θ→0) sinθ／θ の値はどれか。",
      "choices": [
        "0",
        "θ",
        "∞",
        "1"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "θを弧度法で表した角とするとき、sinθ／θはθ→0のとき1に近づく。関数の極限の基本公式の1つ。",
      "entities": [
        "limits-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-lof-sin-multiple-input",
      "type": "input",
      "prompt": "lim(x→0) sin(3x)／x を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3",
      "accept": [],
      "explanation": "まずsin(3x)／x＝3×sin(3x)／(3x)と変形すると、x→0のとき3xも0に近づくのでsin(3x)／(3x)→1。よって3×1＝3。",
      "entities": [
        "limits-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-lof-zero-over-zero-method-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "lim(x→1) (x²−1)／(x−1) を求める方法として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "(x−1)(x＋1)に因数分解して約分する",
        "分母だけ2倍する",
        "両辺を2乗する",
        "x＝1を直接代入する"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "x＝1を直接代入すると0／0の形になってしまうので、(x−1)(x＋1)に因数分解してから約分する必要がある。",
      "entities": [
        "limits-of-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rif-asymptote-pair-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "y＝1／(x−2)＋3のグラフの漸近線はどれか。",
      "choices": [
        "x＝3、y＝2",
        "x＝2、y＝3",
        "x＝−2、y＝3",
        "x＝2、y＝−3"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "y＝k／(x−p)＋qの漸近線はx＝p、y＝q。この式はp＝2、q＝3なので、漸近線はx＝2、y＝3。",
      "entities": [
        "rational-and-irrational-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rif-asymptote-y-input",
      "type": "input",
      "prompt": "分数関数y＝(2x＋1)／(x−3)の漸近線のうち、y＝の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "2",
      "accept": [],
      "explanation": "2x＋1を(x−3)で割ると2＋7／(x−3)になり、この式のyは2に、分母はx＝3に近づけないので、漸近線はx＝3、y＝2。求めるyの値は2。",
      "entities": [
        "rational-and-irrational-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rif-half-parabola-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "y＝√(x＋1)のグラフは、放物線x＝y²−1のどの部分か。",
      "choices": [
        "x≧0の部分",
        "y≧0の部分",
        "全部",
        "y≦0の部分"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "根号はつねに0以上の値をとるので、y＝√(x＋1)のyはつねに0以上。放物線x＝y²−1のうちy≧0の部分だけがこのグラフになる。",
      "entities": [
        "rational-and-irrational-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rif-irrational-domain-input",
      "type": "input",
      "prompt": "無理関数y＝√(2x−4)の定義域はx≧いくつか。",
      "choices": null,
      "answer": "2",
      "accept": [],
      "explanation": "根号の中は0以上でなければならないので、2x−4≧0を解くとx≧2。",
      "entities": [
        "rational-and-irrational-functions"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-slim-constant-term-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "数列aₙ＝5−3/nの極限はどれか。",
      "choices": [
        "0",
        "−3",
        "5",
        "3"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "nを∞に近づけると3/nは0に近づくので、aₙは5−0＝5に収束する。",
      "entities": [
        "sequence-limits"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-slim-divide-by-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "数列aₙ＝(2n＋1)(n−1)／(n(n＋2))の極限を求めるには、分母・分子をどれで割ればよいか。",
      "choices": [
        "n³",
        "n²",
        "1",
        "n"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "分子を展開すると2n²−n−1、分母はn²＋2nで、どちらも最高次はn²。分母の最高次の項n²で割ると、それぞれが一定の値に近づく式になる。",
      "entities": [
        "sequence-limits"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-slim-limit-leading-coeff-2",
      "type": "input",
      "prompt": "lim(n→∞) n(n＋1)／(2n²＋1) を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "0.5",
      "accept": [
        "1/2"
      ],
      "explanation": "分母・分子をn²で割ると(1＋1/n)／(2＋1/n²)になり、nを∞に近づけると1/nも1/n²も0に近づくので、1／2に収束する。",
      "entities": [
        "sequence-limits"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-slim-limit-leading-coeff",
      "type": "input",
      "prompt": "lim(n→∞) (3n²＋1)／(n²＋2n) を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3",
      "accept": [],
      "explanation": "分母・分子をn²で割ると(3＋1/n²)／(1＋2/n)になり、nを∞に近づけると1/n²も2/nも0に近づくので、3／1＝3に収束する。",
      "entities": [
        "sequence-limits"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    }
  ]
}