{
  "api_version": "v1",
  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
    "url": "https://manazoo.com/"
  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "内容の正確さには気をつけていますが、すべてが正しいとは限りません。テストや受験の前には、教科書や先生の説明でも確かめてください。間違いを見つけたら意見箱から知らせてください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
  "kind": "quiz",
  "unit": {
    "slug": "sequences",
    "title": "数列",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-b/sequences/"
  },
  "canonical_url": "https://manazoo.com/high/math-b/sequences/quiz/",
  "questions": [
    {
      "id": "q-ags-multiplier",
      "type": "choice",
      "prompt": "S＝1·2＋2·2²＋…＋n·2ⁿを求めるとき、はじめにSに掛ける数はどれか。",
      "choices": [
        "等差数列の部分の公差1",
        "初項の1",
        "等比数列の部分の公比2",
        "項数n"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "等比数列の部分の公比を掛けると、累乗が1つずつずれて上下にそろう。項数や公差を掛けても、引いたときに項が消えない。",
      "entities": [
        "arithmetico-geometric-sums"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ags-n4",
      "type": "input",
      "prompt": "S＝1·2＋2·2²＋…＋n·2ⁿで、n＝4のときの値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "98",
      "accept": [],
      "explanation": "例題の式S＝(n−1)2ⁿ⁺¹＋2にn＝4を入れると3×32＋2＝98。2＋8＋24＋64＝98とも一致する。",
      "entities": [
        "arithmetico-geometric-sums"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ags-three-terms",
      "type": "input",
      "prompt": "S＝1·3＋2·3²＋3·3³の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "102",
      "accept": [],
      "explanation": "順に計算すると3＋18＋81＝102。S−3Sを使っても、−2S＝3＋9＋27−3×81＝−204からS＝102と求まる。",
      "entities": [
        "arithmetico-geometric-sums"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ags-why-difference",
      "type": "choice",
      "prompt": "等差×等比の数列でS−rSを計算すると、等比数列の和が現れるのはなぜか。",
      "choices": [
        "rを掛けると等差数列の部分が消えるから",
        "初項がいつも0になるから",
        "項数が1つ減るから",
        "同じ累乗の項どうしで、係数の差がいつも公差になるから"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "上下にそろえた同じ累乗の項では、係数の差がいつも公差で一定になる。そのため一定の数×累乗の和、つまり等比数列の和になる。",
      "entities": [
        "arithmetico-geometric-sums"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-as-common-difference",
      "type": "input",
      "prompt": "等差数列で、第3項が11、第7項が23のとき、公差を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3",
      "accept": [],
      "explanation": "第3項から第7項までに公差を4回足すので、4d＝23−11＝12。よってd＝3。",
      "entities": [
        "arithmetic-sequences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-as-nth-term",
      "type": "input",
      "prompt": "初項5、公差4の等差数列の第10項を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "41",
      "accept": [],
      "explanation": "一般項aₙ＝a＋(n−1)dにa＝5、d＝4、n＝10を入れる。a₁₀＝5＋9×4＝41。",
      "entities": [
        "arithmetic-sequences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-as-reverse-pairing",
      "type": "choice",
      "prompt": "等差数列の和の公式を導くとき、同じ数列を逆順に並べて足すのはなぜか。",
      "choices": [
        "末項が初項と同じ値になるから",
        "公差が0になるから",
        "項の数が半分に減るから",
        "上下の項の和が、どの組も等しくなるから"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "逆順に並べると、上下の組の和はどれも初項＋末項になる。同じ数がn個並ぶので、掛け算でまとめられる。項数や公差が変わるわけではない。",
      "entities": [
        "arithmetic-sequences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-as-sum",
      "type": "input",
      "prompt": "初項3、公差2の等差数列の、初項から第15項までの和を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "255",
      "accept": [],
      "explanation": "末項はa₁₅＝3＋14×2＝31。和はS₁₅＝15×(3＋31)/2＝255。",
      "entities": [
        "arithmetic-sequences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ds-next-term",
      "type": "input",
      "prompt": "数列2, 3, 5, 8, 12, …の次の項（第6項）を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "17",
      "accept": [],
      "explanation": "となり合う項の差は1, 2, 3, 4と1ずつ増える。次の差は5なので、12＋5＝17。",
      "entities": [
        "sequence-of-differences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ds-tenth-term",
      "type": "input",
      "prompt": "数列1, 2, 5, 10, 17, …の第10項を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "82",
      "accept": [],
      "explanation": "階差数列は1, 3, 5, 7, …でbₖ＝2k−1。a₁₀＝1＋(b₁＋…＋b₉)で、1から17までの奇数9個の和は9²＝81。よってa₁₀＝82。",
      "entities": [
        "sequence-of-differences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ds-triangular-20",
      "type": "input",
      "prompt": "三角数1, 3, 6, 10, …の第20項を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "210",
      "accept": [],
      "explanation": "三角数の一般項はaₙ＝n(n＋1)/2。n＝20を入れると20×21÷2＝210。",
      "entities": [
        "sequence-of-differences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ds-upper-limit",
      "type": "choice",
      "prompt": "階差数列を使う公式aₙ＝a₁＋Σbₖで、Σの上の数がnではなくn−1になるのはなぜか。",
      "choices": [
        "もとの数列の項がn−1個しかないから",
        "公差から1を引く必要があるから",
        "nが偶数のときだけ使う公式だから",
        "a₁から第n項までに足す差が、b₁からbₙ₋₁までのn−1個だから"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "a₂＝a₁＋b₁、a₃＝a₁＋b₁＋b₂のように、第n項までに足す差はn−1個。数列の項の数や公差とは関係ない。",
      "entities": [
        "sequence-of-differences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-gs-common-ratio",
      "type": "input",
      "prompt": "公比が実数の等比数列で、第2項が6、第5項が162のとき、公比を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3",
      "accept": [],
      "explanation": "第2項から第5項までに公比を3回掛けるので、r³＝162÷6＝27。実数ではr＝3。",
      "entities": [
        "geometric-sequences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-gs-nth-term",
      "type": "input",
      "prompt": "初項2、公比3の等比数列の第5項を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "162",
      "accept": [],
      "explanation": "一般項aₙ＝arⁿ⁻¹にa＝2、r＝3、n＝5を入れる。a₅＝2×3⁴＝2×81＝162。",
      "entities": [
        "geometric-sequences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-gs-shift-subtract",
      "type": "choice",
      "prompt": "等比数列の和の公式を導くとき、和をSとし、Sに公比rを掛けたrSからSを引くのはなぜか。",
      "choices": [
        "初項が0になるから",
        "項の数が2倍になるから",
        "共通する項が消えて、最初と最後の項だけが残るから",
        "公比rが掛け算で消えるから"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "rSはSの各項を1つずつ後ろへずらした形になる。上下で同じ項は引くと消え、arⁿとaだけが残る。項数や初項が変わるわけではない。",
      "entities": [
        "geometric-sequences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-gs-sum",
      "type": "input",
      "prompt": "初項1、公比2の等比数列の、初項から第8項までの和を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "255",
      "accept": [],
      "explanation": "和の公式Sₙ＝a(rⁿ−1)/(r−1)にa＝1、r＝2、n＝8を入れる。S₈＝(256−1)/1＝255。",
      "entities": [
        "geometric-sequences"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-mi-add-term",
      "type": "choice",
      "prompt": "1＋2＋…＋n＝n(n＋1)/2を数学的帰納法で示す。n＝kからn＝k＋1へ進むとき、両辺に足すものはどれか。",
      "choices": [
        "2k＋1",
        "n",
        "k＋1",
        "k"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "n＝kの左辺1＋2＋…＋kに次の項k＋1を足すと、n＝k＋1の左辺になる。2k＋1は奇数の和の例題で足した項。",
      "entities": [
        "mathematical-induction"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-mi-odd-sum",
      "type": "input",
      "prompt": "1＋3＋5＋…＋(2n−1)＝n²で、n＝6のときの右辺の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "36",
      "accept": [],
      "explanation": "n＝6のとき、左辺は1＋3＋5＋7＋9＋11＝36、右辺は6²＝36で一致する。",
      "entities": [
        "mathematical-induction"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-mi-step-two",
      "type": "choice",
      "prompt": "数学的帰納法の［2］で示すことはどれか。",
      "choices": [
        "n＝kで成り立つと仮定して、n＝k＋1でも成り立つこと",
        "すべてのnで成り立つと仮定すること",
        "n＝2のときに成り立つこと",
        "n＝kとn＝k＋1の両方で成り立つと仮定すること"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "［2］では、n＝kで成り立つことを仮定して使い、その次のn＝k＋1でも成り立つことを示す。示したいことを最初から仮定してはいけない。",
      "entities": [
        "mathematical-induction"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-mi-without-base",
      "type": "choice",
      "prompt": "数学的帰納法で、［1］を示さずに［2］だけを示した場合はどうなるか。",
      "choices": [
        "すべての自然数で成り立つといえる",
        "n＝2から先で成り立つといえる",
        "成り立つ出発点が無いので、どのnで成り立つともいえない",
        "n＝1のときだけ成り立つといえる"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "［2］は「n＝kで成り立てば次も成り立つ」という連鎖だけを示す。最初の1枚が倒れなければドミノは倒れ始めないのと同じで、どのnについても成り立つとはいえない。",
      "entities": [
        "mathematical-induction"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rr-alpha",
      "type": "input",
      "prompt": "漸化式aₙ₊₁＝3aₙ−4をaₙ₊₁−α＝3(aₙ−α)と変形するとき、αの値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "2",
      "accept": [],
      "explanation": "特性方程式α＝3α−4を解くと、2α＝4よりα＝2。aₙ₊₁−2＝3(aₙ−2)と変形できる。",
      "entities": [
        "recurrence-relations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rr-arithmetic",
      "type": "choice",
      "prompt": "漸化式aₙ₊₁＝aₙ＋5で表される数列はどれか。",
      "choices": [
        "公比5の等比数列",
        "公差5の等差数列",
        "すべての項が5の数列",
        "階差数列が等比数列になる数列"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "前の項に毎回5を足すので、となり合う項の差が5で一定の等差数列。公比5の等比数列はaₙ₊₁＝5aₙで表す。",
      "entities": [
        "recurrence-relations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rr-fourth-term",
      "type": "input",
      "prompt": "a₁＝2、aₙ₊₁＝3aₙ−1で決まる数列の第4項を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "41",
      "accept": [],
      "explanation": "順に計算すると、a₂＝3×2−1＝5、a₃＝3×5−1＝14、a₄＝3×14−1＝41。",
      "entities": [
        "recurrence-relations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-rr-tenth-term",
      "type": "input",
      "prompt": "a₁＝1、aₙ₊₁＝2aₙ＋1で決まる数列の第10項を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "1023",
      "accept": [],
      "explanation": "例題より一般項はaₙ＝2ⁿ−1。n＝10を入れると2¹⁰−1＝1024−1＝1023。",
      "entities": [
        "recurrence-relations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sig-constant",
      "type": "choice",
      "prompt": "Σ記号で、kに1から4までを入れた定数3の和の値はどれか。",
      "choices": [
        "3",
        "10",
        "12",
        "30"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "定数3を、kが1から4までの4回分足すので3×4＝12。Σc＝ncの公式どおり。kの値を足した10や、3だけではない。",
      "entities": [
        "sigma-notation"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sig-expand",
      "type": "input",
      "prompt": "Σ記号で、kに1から5までを入れた(2k＋1)の和を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "35",
      "accept": [],
      "explanation": "kに1〜5を入れると3、5、7、9、11。足して35。Σの性質を使うと2×15＋5＝35でも求まる。",
      "entities": [
        "sigma-notation"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sig-sum-of-k",
      "type": "input",
      "prompt": "1＋2＋3＋…＋50の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "1275",
      "accept": [],
      "explanation": "Σk＝n(n＋1)/2にn＝50を入れる。50×51÷2＝1275。",
      "entities": [
        "sigma-notation"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sig-sum-of-squares",
      "type": "input",
      "prompt": "1²＋2²＋3²＋…＋10²の値を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "385",
      "accept": [],
      "explanation": "Σk²＝n(n＋1)(2n＋1)/6にn＝10を入れる。10×11×21÷6＝385。",
      "entities": [
        "sigma-notation"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    }
  ]
}