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  "api_version": "v1",
  "publisher": {
    "name": "Manazoo",
    "url": "https://manazoo.com/"
  },
  "license": "All rights reserved（AI の参照・要約と出典リンクつきの引用は可。転載・再配布・販売は不可）",
  "terms_url": "https://manazoo.com/terms/",
  "disclaimer": "内容の正確さには気をつけていますが、すべてが正しいとは限りません。テストや受験の前には、教科書や先生の説明でも確かめてください。間違いを見つけたら意見箱から知らせてください。",
  "attribution": "事実データの一部は Wikidata（CC0）による。単元の構成は文部科学省「中学校学習指導要領」「高等学校学習指導要領」（政府標準利用規約2.0）。",
  "kind": "quiz",
  "unit": {
    "slug": "vectors",
    "title": "ベクトル",
    "url": "https://manazoo.com/high/math-c/vectors/"
  },
  "canonical_url": "https://manazoo.com/high/math-c/vectors/quiz/",
  "questions": [
    {
      "id": "q-dp-angle-60",
      "type": "input",
      "prompt": "|a|＝4、|b|＝5、なす角が60°のとき、内積a・bを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "10",
      "accept": [],
      "explanation": "定義の式に当てはめる。a・b＝4×5×cos60°＝4×5×(1/2)＝10。",
      "entities": [
        "dot-product"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dp-definition",
      "type": "choice",
      "prompt": "2つのベクトルa,bのなす角をθとするとき、内積a・bの定義として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "|a|＋|b|",
        "|a|×|b|×θ",
        "|a||b|sinθ",
        "|a||b|cosθ"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "内積はa・b＝|a||b|cosθで定義される。cosθを使うことで、なす角の大きさが数に反映される。",
      "entities": [
        "dot-product"
      ],
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    },
    {
      "id": "q-dp-from-components",
      "type": "input",
      "prompt": "a＝(2,3)、b＝(1,−2)のとき、内積a・bを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "-4",
      "accept": [],
      "explanation": "成分の式に当てはめる。a・b＝2×1＋3×(−2)＝2−6＝−4。",
      "entities": [
        "dot-product"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-dp-self-dot",
      "type": "input",
      "prompt": "a＝(3,4)のとき、内積a・aを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "25",
      "accept": [],
      "explanation": "a・a＝|a|²になる。|a|²＝3²＋4²＝9＋16＝25。",
      "entities": [
        "dot-product"
      ],
      "verified": true,
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    },
    {
      "id": "q-dpa-cos-value",
      "type": "input",
      "prompt": "a＝(3,0)、b＝(3,4)のとき、2つのベクトルのなす角θのcosθを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3/5",
      "accept": [],
      "explanation": "cosθ＝(a1b1＋a2b2)／(|a||b|)に当てはめる。a・b＝3×3＋0×4＝9。|a|＝3、|b|＝5。cosθ＝9／15＝3／5。",
      "entities": [
        "dot-product-applications"
      ],
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    },
    {
      "id": "q-dpa-perp-check",
      "type": "choice",
      "prompt": "a＝(1,2)、b＝(2,−1)の関係として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "平行である",
        "垂直である（a・b＝0）",
        "垂直でも平行でもない",
        "同じベクトルである"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "a・b＝1×2＋2×(−1)＝2−2＝0。内積が0なので、aとbは垂直になる。",
      "entities": [
        "dot-product-applications"
      ],
      "verified": true,
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    },
    {
      "id": "q-dpa-perp-condition",
      "type": "choice",
      "prompt": "aとbがどちらも0でないとき、a⊥bと同じ意味になる式はどれか。",
      "choices": [
        "|a|＝|b|",
        "a・b＝|a||b|",
        "a・b＝0",
        "a＋b＝0"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "垂直なら、なす角は90°でcos90°＝0になる。よって内積a・b＝|a||b|cos90°＝0になる。",
      "entities": [
        "dot-product-applications"
      ],
      "verified": true,
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    },
    {
      "id": "q-dpa-perp-find-x",
      "type": "input",
      "prompt": "a＝(3,−2)、b＝(4,x)が垂直になるxを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "6",
      "accept": [],
      "explanation": "垂直条件a1b1＋a2b2＝0に当てはめる。3×4＋(−2)×x＝0より12−2x＝0。よってx＝6。",
      "entities": [
        "dot-product-applications"
      ],
      "verified": true,
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    },
    {
      "id": "q-pv-centroid-y",
      "type": "input",
      "prompt": "三角形ABCの重心Gのy座標を求めよ。A(0,0)、B(6,0)、C(3,9)とする。",
      "choices": null,
      "answer": "3",
      "accept": [],
      "explanation": "重心の式g＝(a＋b＋c)／3に当てはめる。y＝(0＋0＋9)／3＝3。",
      "entities": [
        "position-vectors"
      ],
      "verified": true,
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    },
    {
      "id": "q-pv-external-division-x",
      "type": "input",
      "prompt": "A(2,1)、B(8,4)を結ぶ線分ABをm:n＝3:1に外分する点Qのx座標を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "11",
      "accept": [],
      "explanation": "外分点の式q＝(−na＋mb)／(m−n)に当てはめる。x＝(−1×2＋3×8)／(3−1)＝22／2＝11。",
      "entities": [
        "position-vectors"
      ],
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    },
    {
      "id": "q-pv-internal-division-x",
      "type": "input",
      "prompt": "A(1,4)、B(10,−2)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点Pのx座標を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "7",
      "accept": [],
      "explanation": "内分点の式p＝(na＋mb)／(m＋n)に当てはめる。m＝2、n＝1なので、x＝(1×1＋2×10)／3＝21／3＝7。",
      "entities": [
        "position-vectors"
      ],
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      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-pv-internal-formula-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトルの式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "(a＋b)／(m＋n)",
        "(ma＋nb)／(m＋n)",
        "(na＋mb)／(m＋n)",
        "(ma＋nb)／(mn)"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "内分点はAに近いほどnの重みが大きくなる。AP:PB＝m:nなら、位置ベクトルはp＝(na＋mb)／(m＋n)になる。",
      "entities": [
        "position-vectors"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sv-addition-z-component",
      "type": "input",
      "prompt": "a＝(1,−2,3)、b＝(4,0,−1)のとき、a＋bのz成分を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "2",
      "accept": [],
      "explanation": "z成分だけを計算する。aのz成分は3、bのz成分は−1なので、3＋(−1)＝2。",
      "entities": [
        "space-vectors"
      ],
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      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sv-dot-product",
      "type": "input",
      "prompt": "a＝(1,2,−2)、b＝(3,−1,4)のとき、内積a・bを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "-7",
      "accept": [],
      "explanation": "成分の式に当てはめる。a・b＝1×3＋2×(−1)＋(−2)×4＝3−2−8＝−7。",
      "entities": [
        "space-vectors"
      ],
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      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sv-magnitude-1-2-2",
      "type": "input",
      "prompt": "空間ベクトルa＝(1,2,2)の大きさを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "3",
      "accept": [],
      "explanation": "大きさの公式|a|＝√(a1²＋a2²＋a3²)に当てはめる。√(1²＋2²＋2²)＝√9＝3。",
      "entities": [
        "space-vectors"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-sv-magnitude-formula-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "空間ベクトルa＝(a1,a2,a3)の大きさを表す式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "√(a1²＋a2²＋a3²)",
        "a1＋a2＋a3",
        "a1²＋a2²＋a3²",
        "√(a1²＋a2²)"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "空間ベクトルは成分が3つになるので、平面のときの式に3つ目の成分a3²を加える。|a|＝√(a1²＋a2²＋a3²)になる。",
      "entities": [
        "space-vectors"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vc-combo-x-component",
      "type": "input",
      "prompt": "a＝(2,−1)、b＝(−3,4)のとき、2a−bのx成分を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "7",
      "accept": [],
      "explanation": "x成分だけを計算する。2aのx成分は2×2＝4、bのx成分は−3なので、4−(−3)＝7。",
      "entities": [
        "vector-components-and-magnitude"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vc-magnitude-9-12",
      "type": "input",
      "prompt": "ベクトルa＝(9,12)の大きさを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "15",
      "accept": [],
      "explanation": "大きさの公式|a|＝√(a1²＋a2²)に当てはめる。√(9²＋12²)＝√(81＋144)＝√225＝15。",
      "entities": [
        "vector-components-and-magnitude"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vc-magnitude-neg8-15",
      "type": "input",
      "prompt": "ベクトルa＝(−8,15)の大きさを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "17",
      "accept": [],
      "explanation": "成分が負でも2乗すれば正になる。√((−8)²＋15²)＝√(64＋225)＝√289＝17。",
      "entities": [
        "vector-components-and-magnitude"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vc-scalar-components",
      "type": "choice",
      "prompt": "ベクトルa＝(a1,a2)の実数倍kaの成分を表す式はどれか。",
      "choices": [
        "(a1,ka2)",
        "(ka1,ka2)",
        "(a1+k,a2+k)",
        "(ka1,a2)"
      ],
      "answer": 1,
      "accept": [],
      "explanation": "実数倍は成分のどちらにもkを掛ける。(ka1,ka2)が正しく、片方だけに掛けたり、足したりはしない。",
      "entities": [
        "vector-components-and-magnitude"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ve-circle-equation-choice",
      "type": "choice",
      "prompt": "中心C、半径rの円のベクトル方程式として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "p－c＝r",
        "p＝c＋r",
        "|p－c|＝r",
        "|p|＋|c|＝r"
      ],
      "answer": 2,
      "accept": [],
      "explanation": "円は中心Cから距離rにある点Pの集まりだ。点Pと中心Cの距離は|p－c|なので、|p－c|＝rになる。",
      "entities": [
        "vector-equations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ve-circle-radius",
      "type": "input",
      "prompt": "中心C(2,3)の円が点P(5,7)を通るとき、この円の半径rを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "5",
      "accept": [],
      "explanation": "r＝|p－c|に当てはめる。r＝√((5−2)²＋(7−3)²)＝√(9＋16)＝√25＝5。",
      "entities": [
        "vector-equations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ve-line-point-at-t",
      "type": "input",
      "prompt": "点A(2,−1)を通り、方向ベクトル(3,2)に平行な直線上で、t＝2のときの点Pのx座標を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "8",
      "accept": [],
      "explanation": "p＝a＋tdに当てはめる。x座標は2＋2×3＝8。",
      "entities": [
        "vector-equations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-ve-two-point-form-x",
      "type": "input",
      "prompt": "A(0,0)、B(10,6)を通る直線上で、p＝(1−t)a＋tbのt＝(1／2)のときの点Pのx座標を求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "5",
      "accept": [],
      "explanation": "式に当てはめる。x＝(1−(1／2))×0＋(1／2)×10＝0＋5＝5。",
      "entities": [
        "vector-equations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vo-equality",
      "type": "choice",
      "prompt": "ベクトルの相等（等しいこと）の説明として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "大きさだけが同じなら、同じベクトル",
        "向きだけが同じなら、同じベクトル",
        "始点が同じ場所にあれば、同じベクトル",
        "向きと大きさが同じなら、位置が違っても同じベクトル"
      ],
      "answer": 3,
      "accept": [],
      "explanation": "ベクトルは向きと大きさだけで決まり、位置（始点の場所）は関係ない。向きと大きさがそろえば同じベクトルとみなす。",
      "entities": [
        "vector-operations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vo-negative-double",
      "type": "input",
      "prompt": "ベクトルaの大きさが5のとき、ベクトル−2aの大きさを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "10",
      "accept": [],
      "explanation": "実数倍の大きさは|k|倍になる。|−2a|＝|−2|×|a|＝2×5＝10。向きはaと反対になる。",
      "entities": [
        "vector-operations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vo-triple-magnitude",
      "type": "input",
      "prompt": "ベクトルaの大きさが6のとき、ベクトル3aの大きさを求めよ。",
      "choices": null,
      "answer": "18",
      "accept": [],
      "explanation": "実数倍の大きさは|k|倍になる。|3a|＝3×|a|＝3×6＝18。",
      "entities": [
        "vector-operations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    },
    {
      "id": "q-vo-zero-vector",
      "type": "choice",
      "prompt": "零ベクトルの説明として正しいものはどれか。",
      "choices": [
        "大きさが0で、向きは考えない",
        "大きさが1で、向きはどこでもよい",
        "大きさも向きも定まらない",
        "すべてのベクトルと相等である"
      ],
      "answer": 0,
      "accept": [],
      "explanation": "零ベクトルは大きさが0のベクトルで、向きは考えない。矢印の長さが0になるので、向きを決められないからだ。",
      "entities": [
        "vector-operations"
      ],
      "verified": true,
      "placeholder": false
    }
  ]
}