図形の性質の確認問題

Question 1

AB＝9cm、AC＝3cm、BC＝10cmの三角形ABCで、角Aの外角の二等分線と直線BCの交点をEとする（Eは辺BCの延長上にある）。ECの長さを求めよ。

Accepted Answer

5

Question 2

AB＝5cm、AC＝10cm、BC＝12cmの三角形ABCで、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。BDの長さを求めよ。

Accepted Answer

4

Question 3

AB＝5cm、AC＝10cm、BC＝12cmの三角形ABCで、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。DCの長さを求めよ。

Accepted Answer

8

Question 4

三角形ABCでAB:AC＝5:3のとき、角Aの内角の二等分線が辺BCを分ける比BD:DCはどれか。

Accepted Answer

5:3

Answer

1:1

Answer

3:5

Answer

8:1

Question 5

線分ABの延長上に点Dをとり、AD：DB＝m：nとなるようにする作図は、内分点・外分点のどちらの作図か。

Accepted Answer

外分点

Answer

内分点

Question 6

長さ3の線分を、長さ2と1の部分に分けて直径とする半円をかき、分け目から垂線を立てる。垂線の高さはどれか（これは√2の作図になる）。

Accepted Answer

√2

Answer

1.5

Answer

2

Answer

3

Question 7

円の半径が5cm、中心から外部の点Pまでの距離が13cmのとき、Pから引いた接線の長さを求めよ。

Accepted Answer

12

Question 8

円の外部の点Pを通る接線を作図するとき、線分OPを直径とする円を使う理由はどれか。

Accepted Answer

直径に対する円周角が90°になるから（タレスの定理）

Answer

弦の長さが等しくなるから

Answer

相似な三角形ができるから

Answer

円に内接する四角形になるから

Question 9

三角形ABCの辺上に点P、Q、Rがある。BP:PC＝3:2、CQ:QA＝1:4、AR:RB＝8:3であるとき、3直線AP、BQ、CRは1点で交わるか。

Accepted Answer

交わる

Answer

交わらない

Question 10

三角形ABCの辺上の点P、Q、Rを通る3直線AP、BQ、CRが1点で交わるとする。BP:PC＝1:2、CQ:QA＝2:1のとき、AR:RBはどれか。

Accepted Answer

1:1

Answer

1:2

Answer

2:1

Answer

4:1

Question 11

三角形ABCの辺上の点P、Q、Rを通る3直線AP、BQ、CRが1点で交わるとする。BP:PC＝3:1、CQ:QA＝1:5のとき、AR:RBはどれか。

Accepted Answer

5:3

Answer

1:15

Answer

3:5

Answer

15:1

Question 12

三角形の3本の中線は、それぞれの辺を1:1に分ける。このとき、チェバの定理の(BP/PC)×(CQ/QA)×(AR/RB)の値を求めよ。

Accepted Answer

1

Question 13

三垂線の定理で、PH⊥平面α、HK⊥mが成り立つとき、PKとmの関係はどれか。

Accepted Answer

PK⊥m

Answer

PKとmはねじれの位置

Answer

PK∥m

Answer

PKとmは交わるが垂直ではない

Question 14

2つの平面がつくる角（二面角）は、どのように測るか。

Accepted Answer

交線上の1点から、交線に垂直に各平面上にひいた2本の半直線がつくる角

Answer

交線の長さ

Answer

2つの平面の面積の比

Answer

2つの平面上の任意の2直線がつくる角

Question 15

平面αの外にある点Pから平面αへ下ろした垂線の足をH、Hから平面上の直線mへ下ろした垂線の足をKとする。PH＝6cm、PK＝10cmのとき、HKの長さを求めよ。

Accepted Answer

8

Question 16

直線ℓが平面α上のある1本の直線に垂直であることが分かった。これだけで直線ℓが平面αに垂直であるといえるか。

Accepted Answer

いえない（交わる2本の直線に垂直である必要がある）

Answer

いえる（1本で十分）

Question 17

三角形ABCの辺（またはその延長）の上に点P、Q、Rがあり、BP:PC＝4:1、CQ:QA＝1:2、AR:RB＝1:2である。P、Q、Rは一直線上に並ぶか。

Accepted Answer

並ぶ

Answer

並ばない

Question 18

三角形ABCの辺BC、CA、ABの延長と、どの頂点も通らない1本の直線がそれぞれP、Q、Rで交わるとする。BP:PC＝1:3、CQ:QA＝2:1のとき、AR:RBはどれか。

Accepted Answer

3:2

Answer

1:6

Answer

2:3

Answer

6:1

Question 19

三角形ABCの辺BC、CA、ABの延長と、どの頂点も通らない1本の直線がそれぞれP、Q、Rで交わるとする。BP:PC＝5:2、CQ:QA＝1:5のとき、AR:RBはどれか。

Accepted Answer

2:1

Answer

1:2

Answer

1:10

Answer

10:1

Question 20

三角形ABCの辺（またはその延長）の上に点P、Q、Rがあり、BP:PC＝3:1、CQ:QA＝1:2、AR:RB＝1:6である。P、Q、Rは一直線上に並ぶか。

Accepted Answer

並ばない

Answer

並ぶ

Question 21

正多面体の各頂点に、正三角形（1つの内角60°）を6個集めようとすると何が起こるか。

Accepted Answer

頂点のまわりの角の和がちょうど360°になり、平らになって立体にならない

Answer

角の和が360°を超え、立体として閉じる

Answer

頂点が重なってしまい作図できない

Answer

正しい正多面体（正二十面体）ができる

Question 22

正十二面体は、頂点の数（v）＝20、面の数（f）＝12である。オイラーの多面体定理を使って、辺の数（e）を求めよ。

Accepted Answer

30

Question 23

正八面体は、面の数（f）＝8、辺の数（e）＝12である。オイラーの多面体定理を使って、頂点の数（v）を求めよ。

Accepted Answer

6

Question 24

正多面体はちょうど何種類あるか。

Accepted Answer

5種類

Answer

3種類

Answer

4種類

Answer

6種類

Question 25

円の弦ABとCDが円の内部の点Pで交わっている。PA＝3cm、PB＝8cm、PC＝4cmのとき、PDの長さを求めよ。

Accepted Answer

6

Question 26

円の外部の点Pから2本の割線を引く。1本目の円との交点までの距離はPA＝6cm、PB＝10cm。2本目の交点までの距離がPC＝5cmのとき、PDの長さはどれか。

Accepted Answer

12cm

Answer

8cm

Answer

10cm

Answer

15cm

Question 27

方べきの定理（弦が内部で交わる場合）を証明するとき、三角形PACと三角形PDBが相似になる根拠はどれか。

Accepted Answer

対頂角と、同じ弧に対する円周角がそれぞれ等しいから

Answer

直角三角形の合同条件を満たすから

Answer

3辺の比がすべて等しいから

Answer

2辺の比と間の角がそれぞれ等しいから

Question 28

円の外部の点Pから引いた接線の長さPT＝8cm、割線との交点までの距離がPA＝4cmのとき、PBの長さを求めよ。

Accepted Answer

16

Question 29

A(0, 0)、B(6, 0)、C(3, 9)を頂点とする三角形の重心のx座標を求めよ。

Accepted Answer

3

Question 30

A(0, 0)、B(6, 0)、C(3, 9)を頂点とする三角形の重心のy座標を求めよ。

Accepted Answer

3

Question 31

三角形の3辺の垂直二等分線が交わる点を何というか。

Accepted Answer

外心

Answer

内心

Answer

重心

Answer

垂心

Question 32

三角形の3辺から等しい距離にある点はどれか。

Accepted Answer

内心

Answer

重心

Answer

垂心

Answer

外心

Question 33

円の接線ATと接点Aを通る弦ABのつくる角∠TAB＝40°のとき、弧ABに対する円周角（接線と反対側にある点Cを頂点とする∠ACB）はどれか。

Accepted Answer

40°

Answer

50°

Answer

80°

Answer

140°

Question 34

四角形ABCDで∠A＝100°、∠C＝80°のとき、この四角形は円に内接するか。

Accepted Answer

する

Answer

しない

Question 35

円の接線ATと弦ABのつくる角∠TAB＝48°、円周上の点C（∠TABと反対側の弧上にある）で∠ABC＝65°のとき、∠BACの大きさを求めよ。

Accepted Answer

67

Question 36

接弦定理を証明するとき、接点Aを通ってひいた補助線はどれか。

Accepted Answer

直径

Answer

垂線

Answer

弦

Answer

中線

Question 37

半径8cmと3cmの2つの円があり、中心間の距離が13cmである。外部の共通接線の長さを求めよ。

Accepted Answer

12

Question 38

半径15cmと9cmの2つの円があり、中心間の距離が25cmである。内部の共通接線の長さを求めよ。

Accepted Answer

7

Question 39

中心間の距離が10cm、半径が7cmと3cmの2つの円は、どの位置関係か。

Accepted Answer

外接する

Answer

内接する

Answer

2点で交わる

Answer

離れている

Question 40

2つの円が内接する（1点で接し、小さい円が大きい円の内部にある）とき、共通接線は何本引けるか。

Accepted Answer

1本

Answer

0本

Answer

2本

Answer

4本

Question 41

長さ4cm、5cm、10cmの3本の棒で、三角形は作れるか。

Accepted Answer

作れない

Answer

作れる

Question 42

三角形ABCの3辺がBC＝a、CA＝b、AB＝cで、a＜b＜cのとき、最も大きい角はどれか。

Accepted Answer

∠C

Answer

∠A

Answer

辺の長さだけでは決まらない

Answer

∠B

Question 43

2辺の長さが7cmと10cmの三角形で、3つ目の辺の長さxが整数になるとき、xの最大の値を求めよ。

Accepted Answer

16

Question 44

3辺が9cm、12cm、xcmの三角形ができるとき、xのとりうる範囲はどれか。

Accepted Answer

3＜x＜21

Answer

0＜x＜21

Answer

3＜x＜12

Answer

9＜x＜12