等差数列
ゾウ先生一般項の(n−1)は、項と項のすき間の数だよ。植木算と同じ考え方だね。
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- となり合う項の差が一定の数列を等差数列、その差を公差という。初項a・公差dなら一般項はaₙ＝a＋(n−1)d。
- 初項から第n項までの和はSₙ＝n(a₁＋aₙ)/2。初項と末項の和に項数を掛けて2で割る。
- 和の公式は、同じ数列を逆順に並べて上下を足すと、どの組も同じ和になることから導ける。
詳しく
公式
数を順に並べたものを数列といい、並んだ各数を項という。最初の項を初項、n番目の項を第n項と呼ぶ。
2, 5, 8, 11, …のように、となり合う項の差が一定の数列を等差数列という。その差を公差といい、この例は初項2、公差3になる。
初項a、公差dの等差数列の第n項は、初項に公差を(n−1)回足したものだ。第n項をnの式で表したを一般項という。
初項から第n項までの和をSₙとすると、Sₙは初項と末項の和に項数nを掛け、2で割って求める。と表せる。
末項の代わりに公差を使うと、とも書ける。末項が分からないときはこちらを使う。
例題
例題：初項2、公差3の等差数列の第20項と、初項から第20項までの和を求めよ。
第20項は、一般項の式にn＝20を入れればよい。になる。
和は、初項2と末項59の和に20を掛けて2で割る。なので、求める和は610だ。
なぜそうなるか
和の公式は、同じ数列を逆順に並べて足すと分かる。1＋2＋…＋10を例に考えよう。
S＝1＋2＋…＋10の下に、S＝10＋9＋…＋1と逆順に書く。上下の数を足すと、どの組も11で等しい。
11の組が10組あるので2S＝110、よってS＝55と求まる。一般の等差数列でも上下の組の和はどれもa₁＋aₙで、その組がn個あるので2Sₙ＝n(a₁＋aₙ)になる。
一般項の(n−1)も同じように考えられる。第1項から第n項までに公差を足す回数は、項と項のすき間の数なのでn−1回だ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/arithmetic-sequences/?from=print#quiz
初項5、公差4の等差数列の第10項を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：41
一般項aₙ＝a＋(n−1)dにa＝5、d＝4、n＝10を入れる。a₁₀＝5＋9×4＝41。初項3、公差2の等差数列の、初項から第15項までの和を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：255
末項はa₁₅＝3＋14×2＝31。和はS₁₅＝15×(3＋31)/2＝255。等差数列で、第3項が11、第7項が23のとき、公差を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3
第3項から第7項までに公差を4回足すので、4d＝23−11＝12。よってd＝3。等差数列の和の公式を導くとき、同じ数列を逆順に並べて足すのはなぜか。
- ◯ 末項が初項と同じ値になるから
- ◯ 公差が0になるから
- ◯ 項の数が半分に減るから
- ◯ 上下の項の和が、どの組も等しくなるから
正解：上下の項の和が、どの組も等しくなるから
逆順に並べると、上下の組の和はどれも初項＋末項になる。同じ数がn個並ぶので、掛け算でまとめられる。項数や公差が変わるわけではない。
単元のポイント
- 等差数列 となり合う項の差が一定の数列
- 公差 等差数列のとなり合う項の差d
- 一般項 第n項をnの式で表したもの。等差数列ならaₙ＝a＋(n−1)d