等比数列
ゾウ先生和の公式を忘れても、公比を掛けてずらして引けば、いつでも作り直せるよ。
30秒でつかむ
- となり合う項の比が一定の数列を等比数列、その比を公比という。初項a・公比rなら一般項はaₙ＝arⁿ⁻¹。
- 初項から第n項までの和は、r≠1のときSₙ＝a(rⁿ−1)/(r−1)。r＝1のときはnaになる。
- 和の公式は、Sに公比を掛けたrSを1つずらして並べ、rS−Sを計算すると導ける。
詳しく
公式
3, 6, 12, 24, …のように、となり合う項の比が一定の数列を等比数列という。その比を公比といい、この例は初項3、公比2になる。
初項a、公比rの等比数列の第n項は、初項に公比を(n−1)回掛けたものだ。一般項はと表せる。
初項から第n項までの和は、r≠1のときで求められる。r＝1ならどの項もaなので、和はnaになる。
例題
例題：初項3、公比2の等比数列の第6項と、初項から第6項までの和を求めよ。
第6項は、初項3に公比2を5回掛けた数だ。になる。
和は公式にa＝3、r＝2、n＝6を入れて、と求まる。3＋6＋12＋24＋48＋96を順に足しても、同じ189になる。
なぜそうなるか
和の公式は、和をSとして、Sに公比を掛けてずらして引くと導ける。初項3、公比2の6項で確かめよう。
S＝3＋6＋12＋24＋48＋96とおき、両辺に2を掛けてみよう。すると2S＝6＋12＋24＋48＋96＋192という式ができる。
2つの式を、同じ数が上下にそろうよう1つずらして並べる。6から96までは共通なので、2S−Sを計算すると消えて、残るのは192−3だけだ。
よってS＝189と求まる。一般にもrSₙ−Sₙ＝arⁿ−aになり、両辺をr−1で割れば公式が出てくる。各項に公比を掛けると、同じ項を一部にもつ数列ができることがポイントだ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/geometric-sequences/?from=print#quiz
初項2、公比3の等比数列の第5項を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：162
一般項aₙ＝arⁿ⁻¹にa＝2、r＝3、n＝5を入れる。a₅＝2×3⁴＝2×81＝162。初項1、公比2の等比数列の、初項から第8項までの和を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：255
和の公式Sₙ＝a(rⁿ−1)/(r−1)にa＝1、r＝2、n＝8を入れる。S₈＝(256−1)/1＝255。公比が実数（新しいタブで開きます）の等比数列で、第2項が6、第5項が162のとき、公比を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3
第2項から第5項までに公比を3回掛けるので、r³＝162÷6＝27。実数（新しいタブで開きます）ではr＝3。等比数列の和の公式を導くとき、和をSとし、Sに公比rを掛けたrSからSを引くのはなぜか。
- ◯ 初項が0になるから
- ◯ 項の数が2倍になるから
- ◯ 共通する項が消えて、最初と最後の項だけが残るから
- ◯ 公比rが掛け算で消えるから
正解：共通する項が消えて、最初と最後の項だけが残るから
rSはSの各項を1つずつ後ろへずらした形になる。上下で同じ項は引くと消え、arⁿとaだけが残る。項数や初項が変わるわけではない。
単元のポイント
- 等比数列 となり合う項の比が一定の数列
- 公比 等比数列で、前の項に掛ける一定の数。文字rで表すことが多い
- rS−S 共通の項が消えて、最後と最初の項だけが残る