垂直二等分線・角の二等分線・垂線の作図
ゾウ先生定規は直線をひく道具、コンパスは等しい長さを写し取る道具。測らずにかくのが作図のきまりだよ。
30秒でつかむ
- 垂直二等分線は、線分の両端から等しい距離にある点の集まり。線分の中点を通り、線分に垂直になる。
- 角の二等分線は、角を2つの等しい角に分ける直線。頂点を通り、角の対称軸になる。
- 垂線は、ある直線や点に垂直な直線。どれも等しい半径の円の交点を利用して作図する。
詳しく
公式
垂直二等分線は、A，Bを中心に等しい半径の円をかき、その交点P，Qを結べば作図できる。P，Qはどちらも、AP＝BP、AQ＝BQとなる点だからだ。
角の二等分線は、頂点Oから2辺に等しい半径の円をかいて交点P，Qを決める。さらにP，Qを中心に等しい半径の円をかいて交点Rを求め、OとRを結べばかける。
垂線も同じしくみ。直線上の2点から等しい半径の円をかき、その交点を通る直線が垂線になる。
例題
例題：点Aを通り、直線ℓに垂直な垂線を作図しよう。
まずAを中心に、直線ℓと2点で交わる円をかく。その2つの交点をB，Cとする。
次にB，Cを中心に、同じ半径の円をかく。2つの円が交わる点とAを結べば、ℓに垂直な垂線になる。
なぜそうなるか
垂直二等分線・角の二等分線・垂線の作図は、どれも「等しい半径の2つの円の交点」を使う点で共通している。これは、2つの円の中心を結ぶ直線に対して、交点が線対称の位置にあるからだ。
垂直二等分線の作図では、A，Bを中心とする円の交点P，Qが、線分ABに対して線対称になっている。角の二等分線でも同じしくみが働いている。
一方的に手順を覚えるのではなく、図形の対称性に着目すれば、3つの作図を同じ考え方でまとめて理解できる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/basic-constructions/?from=print#quiz
線分ABの垂直二等分線上にある点Pは、どんな性質をもつか。
- ◯ PA＝2PBになる
- ◯ PはAより遠くBより近い
- ◯ Pは必ずAB上にある
- ◯ PA＝PBになる
正解：PA＝PBになる
垂直二等分線は、線分の両端から等しい距離にある点の集まり。だから線分上のどの点Pでも、PA＝PBになる。頂角80°の角を角の二等分線で2つに分けると、それぞれ何度になるか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：40
角の二等分線は、角を2つの等しい角に分ける直線。80÷2＝40で、どちらも40°になる。点Aを通り直線ℓに垂直な垂線を、コンパスと定規で作図するとき、最初にすることはどれか。
- ◯ 直線ℓ上の1点を中心に円をかく
- ◯ Aとℓの距離を定規で測る
- ◯ Aを中心に、直線ℓと2点で交わる円をかく
- ◯ 分度器で90°をとる
正解：Aを中心に、直線ℓと2点で交わる円をかく
まずAを中心にして、直線ℓと2点で交わる円をかく。その2点から等しい半径の円をかいて交点を見つければ、Aを通る垂線がひける。角の二等分線の作図で、頂点Oから2辺に等しい半径の円をかき、辺との交点をP，Qとした。次にすることはどれか。
- ◯ P，Qを中心に等しい半径の円をかき、その交点とOを結ぶ
- ◯ OとPを結ぶ
- ◯ PとQを直線で結ぶ
- ◯ Oを中心にもう一つ円をかく
正解：P，Qを中心に等しい半径の円をかき、その交点とOを結ぶ
P，Qを中心に等しい半径の円をかき、その交点とOを結ぶ直線が角の二等分線になる。対称性を使った手順だ。長さ12cmの線分の垂直二等分線は、線分の端から何cmの点を通るか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：6
垂直二等分線は線分の中点を通る。12cmの線分の中点は、端から12÷2＝6cmの点になる。
単元のポイント
- 作図 定規とコンパスだけを使い、一定の条件を満たす図形をかくこと
- 垂直二等分線 線分の両端から等しい距離にある点の集まり。線分の中点を垂直に通る
- 角の二等分線 角を2つの等しい角に分ける直線。角の対称軸になる
- 垂線 ある直線に垂直な直線。90°で交わる
- 対称性 図形が折り返したり回したりしても重なる性質。作図の方法を見つける手がかりになる