約数(やくすう)と倍数(ばいすう)

整数(せいすう)a、bについて、aがbで割(わ)り切(き)れるとき、bをaの約数(やくすう)、aをbの倍数(ばいすう)という。たとえば12は1・2・3・4・6・12で割(わ)り切(き)れるので、これら6つの数(かず)はすべて12の約数(やくすう)である。

ある数(かず)が2・3・4・5・9の倍数(ばいすう)かどうかは、次(つぎ)のように見分(みわ)けがつく。一(いち)の位(くらい)が0・2・4・6・8なら2の倍数(ばいすう)、各位(かくい)の数(かず)の和(わ)が3の倍数(ばいすう)なら3の倍数(ばいすう)になる。下2桁(しもふたけた)が4の倍数(ばいすう)なら4の倍数(ばいすう)、一(いち)の位(くらい)が0か5なら5の倍数(ばいすう)、各位(かくい)の数(かず)の和(わ)が9の倍数(ばいすう)なら9の倍数(ばいすう)になる。

2つ以上(いじょう)の整数(せいすう)に共通(きょうつう)する約数(やくすう)を公約数(こうやくすう)、共通(きょうつう)する倍数(ばいすう)を公倍数(こうばいすう)という。公約数(こうやくすう)のうち最大(さいだい)のものを最大公約数(さいだいこうやくすう)、公倍数(こうばいすう)のうち最小(さいしょう)のものを最小公倍数(さいしょうこうばいすう)という。たとえば12と18の公約数(こうやくすう)は1・2・3・6なので、最大公約数(さいだいこうやくすう)は6になる。最大公約数(さいだいこうやくすう)が1になる2つの整数(せいすう)を互(たが)いに素(そ)という。

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例題(れいだい)：84と126の最大公約数(さいだいこうやくすう)と最小公倍数(さいしょうこうばいすう)を、素因数分解(そいんすうぶんかい)（新しいタブで開きます）を使(つか)って求(もと)めよう。

$84=2^2×3×7$、$126=2×3^2×7$と素因数分解(そいんすうぶんかい)できる。最大公約数(さいだいこうやくすう)は、共通(きょうつう)する素因数(そいんすう)を小(ちい)さいほうの指数(しすう)でそろえてかけた数(かず)なので、$2×3×7=\mathbf{42}$。

最小公倍数(さいしょうこうばいすう)は、現(あらわ)れるすべての素因数(そいんすう)を大(おお)きいほうの指数(しすう)でそろえてかけた数(かず)になる。$2^2×3^2×7=\mathbf{252}$がその値(あたい)だ。84と126の最大公約数(さいだいこうやくすう)は42で1ではないから、互(たが)いに素(そ)ではない。

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10は3で割(わ)ると1余(あま)り、100も3で割(わ)ると1余(あま)る。だから何桁(なんけた)の位(くらい)でも、その位(くらい)の数字(すうじ)が表(あらわ)す値(あたい)を3で割(わ)った余(あま)りは、位(くらい)の数字(すうじ)そのものを3で割(わ)った余(あま)りと変(か)わらない。各位(かくい)の数字(すうじ)をただ足(た)した和(わ)を3で割(わ)った余(あま)りが、もとの数(かず)を3で割(わ)った余(あま)りと一致(いっち)するのはこのためだ。9で割(わ)ると1余(あま)ることも同(おな)じ理由(りゆう)から、9の倍数(ばいすう)の見分(みわ)け方(かた)になる。

2つの整数(せいすう)a、bの最大公約数(さいだいこうやくすう)をg、最小公倍数(さいしょうこうばいすう)をlとすると、$g×l=a×b$という関係(かんけい)がいつも成(な)り立(た)つ。素因数分解(そいんすうぶんかい)でa、bの素因数(そいんすう)をすべて並(なら)べたとき、最大公約数(さいだいこうやくすう)は小(ちい)さいほうの指数(しすう)の積(せき)、最小公倍数(さいしょうこうばいすう)は大(おお)きいほうの指数(しすう)の積(せき)になる。小(ちい)さいほうの指数(しすう)と大(おお)きいほうの指数(しすう)を1つずつ足(た)すと、もとのa、bそれぞれの指数(しすう)の和(わ)に戻(もど)るからだ。

この関係(かんけい)を使(つか)うと、最大公約数(さいだいこうやくすう)さえわかれば、最小公倍数(さいしょうこうばいすう)は$a×b÷g$の割(わ)り算(ざん)だけで求(もと)められる。