素因数分解
ゾウ先生小さい素数（2、3、5…）から順に割っていけば、必ず素数だけの積になる。
30秒でつかむ
- 素数は、1とその数自身以外に約数を持たない、1より大きい自然数。
- 素因数分解は、自然数を素数だけの積で表すこと。表し方はただ1通りに決まる。
- 小さい素数から順に割っていくと、どんな自然数も素数だけの積に分解できる。
詳しく
公式
1より大きい自然数は、1と自分自身以外に約数を持たない素数と、それ以外の数の2種類に分けられる。
素数ではない数は、約数を使っていくつかの自然数の積として表せるのだ。これを素数だけになるまで続けると、素因数分解ができる。
分解の順番を変えても、整理すると最終的には同じ素数の積になる。素因数分解の表し方は、ただ1通りしかない。
例題
例題：60を素因数分解しよう。
小さい素数2から順に割る。60÷2＝30、30÷2＝15、15はこれ以上2で割れない。次の素数3で割ると15÷3＝5。5はそのまま素数。
割った数を並べると、60＝2×2×3×5＝2²×3×5になる。
なぜそうなるか
素数ではない数は、必ずもっと小さい自然数の積に分けられる。その積の中に素数でない数が残っていれば、さらに分解を続けよう。
この操作をくり返すと、いつかは全部が素数になって、それ以上は分解できない。だから、どんな自然数も素数だけの積で表せるのだ。
小さい素数から順に試すと、どの数も見落とさずに分解できる。また、素因数分解を使えば、約数や最大公約数・最小公倍数の性質も見通しやすい。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/prime-factorization/?from=print#quiz
36を素因数分解するとどれか。
- ◯ 2²×3²
- ◯ 2×3³
- ◯ 2³×3
- ◯ 6²
正解：2²×3²
36＝4×9＝2×2×3×3なので、2²×3²になる。2×3³＝54、2³×3＝24では36にならない。84を素因数分解すると、2²×3×□になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：7
84＝2²×3×7。84を2²×3＝12で割ると、84÷12＝7が残りの素因数（新しいタブで開きます）になる。次のうち素数はどれか。
- ◯ 17
- ◯ 21
- ◯ 51
- ◯ 91
正解：17
17は1と17以外に約数を持たない素数。21＝3×7、51＝3×17、91＝7×13で、どれも素数ではない。150を素因数分解すると2×3×5²になる。5の指数（右上の小さい数）はいくつか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
150＝2×3×5×5＝2×3×5²。5を2回かけているので、指数は2になる。48を2⁴×3、60を2²×3×5と素因数分解できる。2つの最大公約数を求めよう。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：12
最大公約数は、共通する素因数を小さい指数の方でそろえてかける。2²×3＝12になる。
単元のポイント
- 素数 1とその数自身以外に約数を持たない、1より大きい自然数
- 素因数 素因数分解したときに出てくる、素数の因数（新しいタブで開きます）
- 素因数分解 自然数を素数だけの積で表すこと
- 指数 同じ素因数を何回かけたかを示す、累乗の右上の数
- 最大公約数 2つ以上の数に共通する約数のうち、最大のもの