指数(しすう)の拡張(かくちょう)と累乗(るいじょう)根(ね)

中学(ちゅうがく)と数学(すうがく)Ⅰでは、$a^n$（nは正(せい)の整数(せいすう)）の意味(いみ)で指数(しすう)を学(まな)んだ。ここからは、指数(しすう)を0・負(ふ)の整数(せいすう)・分数(ぶんすう)まで広(ひろ)げていく。

指数(しすう)法則(ほうそく)$a^m \times a^n = a^{m+n}$を考(かんが)えよう。これが0や負(ふ)の整数(せいすう)でも成(な)り立(た)つようにしたい。そこで$\mathbf{a^0=1}$と決(き)める。また$\mathbf{a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}}$（aは0でない）とも決(き)める。たとえば$2^3\times2^0=2^3$が成(な)り立(た)つには$2^0=1$でなければならない。

分数(ぶんすう)の指数(しすう)には累乗(るいじょう)根(ね)を使(つか)う。n乗(じょう)するとaになる数(かず)をaのn乗(じょう)根(ね)という。a＞0のとき、aのn乗(じょう)根(ね)のうち正(せい)のものを$\sqrt[n]{a}$と書(か)き、$\mathbf{a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}}$と定(さだ)める。$\mathbf{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$も同(おな)じように定(さだ)める。下(した)の図(ず)は、累乗(るいじょう)根(ね)を使(つか)ってaの(2/3)乗(じょう)を求(もと)める手順(てじゅん)を表(あらわ)している。

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例題(れいだい)：$8^{\frac{2}{3}}$の値(あたい)を求(もと)めよ。

まず8の3乗(じょう)根(ね)を求(もと)める。$2^3=8$なので$\sqrt[3]{8}=2$。$\mathbf{8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4}$になる。

指数(しすう)が負(ふ)の数(すう)のときは、まず逆数(ぎゃくすう)にしてから正(せい)の指数(しすう)で計算(けいさん)する。$27^{-\frac{1}{3}}$は$27^{\frac{1}{3}}$の逆数(ぎゃくすう)だ。$27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3$だ。よって$\mathbf{27^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}}$になる。

aの0乗(じょう)やaの−n乗(じょう)は、証明(しょうめい)できる式(しき)ではなく、指数(しすう)法則(ほうそく)を保(たも)つために決(き)めた値(あたい)だ。なぜそう決(き)めるしかないのか、2のn乗(じょう)の値(あたい)を並(なら)べて確(たし)かめよう。

2³＝8、2²＝4、2¹＝2で、指数(しすう)が1減(へ)るたびに値(あたい)は2でわられている。この並(なら)びを指数(しすう)が0や負(ふ)の数(すう)にも続(つづ)けると、2⁰＝1、2⁻¹＝1/2、2⁻²＝1/4になり、指数(しすう)法則(ほうそく)と同(おな)じ結果(けっか)になる。

下(した)の図(ず)は、この「指数(しすう)が1減(へ)ると値(あたい)が半分(はんぶん)になる」パターンを、指数(しすう)3から−2まで並(なら)べたものだ。指数(しすう)法則(ほうそく)を壊(こわ)さないように広(ひろ)げると、0乗(じょう)は必(かなら)ず1、負(ふ)の指数(しすう)は分数(ぶんすう)になる。

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