指数(しすう)関数(かんすう)とそのグラフ

数学(すうがく)Ⅰでは、二次(にじ)関数(かんすう)$y=ax^2+bx+c$のグラフを学(まな)んだ。ここでは、指数(しすう)部分(ぶぶん)にxがある指数(しすう)関数(かんすう)$y=a^x$（aは1でない正(せい)の数(すう)）のグラフを見(み)ていこう。

$y=2^x$は、xが1増(ふ)えるたびに値(あたい)が2倍(ばい)になる関数(かんすう)だ。$x=0$のとき$2^0=1$なので、グラフは必(かなら)ず点(てん)(0,1)を通(とお)り、xが大(おお)きくなるほど値(あたい)は増(ふ)え続(つづ)ける。

$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$は、底(そこ)が1より小(ちい)さい関数(かんすう)だ。xが大(おお)きくなるほど値(あたい)は0に近(ちか)づいていく。下(した)の図(ず)を見(み)よう。$y=2^x$と$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$のグラフをまとめたものだ。どちらもx軸(じく)(y＝0の直線(ちょくせん))に限(かぎ)りなく近(ちか)づくが、交(まじ)わらない。

xに具体(ぐたい)的(てき)な数(かず)を入(い)れて値(あたい)を求(もと)めることもできる。たとえば$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$を考(かんが)えよう。$\dfrac{1}{2}$を3回(かい)かけると$\dfrac{1}{8}$になる。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)：$2^x=16$を満(み)たすxの値(あたい)を求(もと)めよ。

16を2の累乗(るいじょう)の形(かたち)にすると$16=2^4$になる。よって$\mathbf{2^x=2^4}$となり$\mathbf{x=4}$が求(もと)まる。底(そこ)が同(おな)じ指数(しすう)関数(かんすう)は、指数(しすう)を比(くら)べるだけで方程式(ほうていしき)が解(かい)ける。

大小(だいしょう)比較(ひかく)も同(おな)じ考(かんが)え方(かた)だ。$2^3$と$2^5$を比(くら)べよう。底(そこ)2は1より大(おお)きいので指数(しすう)が大(おお)きいほど値(あたい)も大(おお)きく、$\mathbf{2^3 < 2^5}$になる。

指数(しすう)関数(かんすう)の増(ふ)え方(かた)が、なぜ二次(にじ)関数(かんすう)よりも速(はや)いのか、表(ひょう)で比(くら)べてみよう。

$y=x^2$は、xが0から5まで1ずつ増(ふ)えるとき、値(あたい)は0,1,4,9,16,25と増(ふ)える。その差(さ)は1,3,5,7,9になる。差(さ)そのものは一定(いってい)のペースで大(おお)きくなっていく。

一方(いっぽう)$y=2^x$は、値(あたい)が1,2,4,8,16,32と増(ふ)え、その差(さ)は1,2,4,8,16になる。差(さ)が毎回(まいかい)2倍(ばい)になっていくので、xが大(おお)きくなるほど二次(にじ)関数(かんすう)との差(さ)は開(ひら)いていく。下(した)の図(ず)は、この2つの増(ふ)え方(かた)を並(なら)べて比(くら)べたものだ。

（押すと拡大して表示します）