最大公約数の見つけ方と活用
ゾウ先生小さいほうの数の約数だけを調べれば、もっと早く見つかるよ。
30秒でつかむ
- 公約数（新しいタブで開きます）の中でいちばん大きい数を、最大公約数という。
- 小さいほうの数の約数を大きい順に調べ、その数で大きいほうの数もわり切れるかを確かめると、速く見つけられる。
- 長方形を同じ大きさの正方形でしきつめる問題は、辺の長さの最大公約数を求めると解ける。
詳しく
見つけ方
最大公約数を見つけるには、小さいほうの数の約数を大きい順に調べ、その数でもう一方の数もわり切れるかを確かめるとよい。
たとえば18と24の最大公約数を求める。小さいほうの18の約数1，2，3，6，9，18を大きい順に使い、24をわってみる。
24は18でも9でもわり切れないが、6ではわり切れるので、18と24の最大公約数は6になる。
例題
例題：たて18cm、よこ24cmの長方形の紙を、あまりが出ないように同じ大きさの正方形に切り分けます。できるだけ大きい正方形にすると、1辺は何cmになりますか。
正方形の1辺は18と24の最大公約数でなければならないので、6cmになる。
たて18cmは6cmの正方形が3まい分、よこ24cmは6cmの正方形が4まい分で、ぴたりと分けられる。
活用
みかん30こ、りんご45こがある。あまりが出ないようにできるだけ多くの人に同じ数ずつ配りたいとき、配れる人数は30と45の最大公約数になる。
30の約数は1，2，3，5，6，10，15，30、45の約数は1，3，5，9，15，45だ。見比べると、共通する最大の数は15である。
だから15人に配ることができ、みかんは1人2こ、りんごは1人3こになる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/finding-greatest-common-divisor/?from=print#quiz
16と20の最大公約数は何ですか。数で答えましょう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：4
16の約数（新しいタブで開きます）は1，2，4，8，16、20の約数は1，2，4，5，10，20なので、共通する最大の数は4である。最大公約数が7であるものはどれですか。
- ◯ 9と16
- ◯ 10と15
- ◯ 12と18
- ◯ 14と21
正解：14と21
14の約数と21の約数を見比べると、共通する最大の数は7である。たて15cm、よこ20cmの長方形がある。あまりが出ないように同じ大きさの正方形に分けるとき、できるだけ大きい正方形の1辺は何cmですか。
- ◯ 3
- ◯ 4
- ◯ 5
- ◯ 6
正解：5
正方形の1辺は15と20の最大公約数でなければならないので、5cmになる。最大公約数を速く見つけるには、どちらの数の約数から調べるとよいですか。
- ◯ 2つの数を足した数の約数
- ◯ 小さいほうの数の約数
- ◯ 大きいほうの数の約数
- ◯ 2つの数をかけた数の約数
正解：小さいほうの数の約数
小さいほうの数の約数を大きい順に調べ、その数でもう一方の数もわり切れるかを確かめると速く見つかる。
単元のポイント
- 最大公約数 2つ以上の整数に共通な約数のうち、いちばん大きいもの
- 小さいほうの数の約数から調べる 最大公約数を速く見つける方法