直線や平面の位置関係・ねじれの位置
ゾウ先生平面図形には出てこない「ねじれの位置」が、空間図形だけの新しい関係だよ。
30秒でつかむ
- 空間で2つの直線は、交わる・平行・ねじれの位置のいずれかの関係になる。
- ねじれの位置は、交わらず平行でもない2直線の関係。空間だけに現れ、平面上では起こらない。
- 直線と平面、平面と平面にも、交わる・垂直・平行といった位置関係がある。
詳しく
公式
空間にある2つの直線の位置関係には、交わる場合と、交わらない場合（平行・ねじれの位置）がある。交わらず平行でもない関係を、ねじれの位置という。
直線と平面の位置関係には、直線が平面に含まれる・交わる・平行の3通りがある。交わる場合の特別なときが垂直だ。
平面と平面の位置関係は、交わる（特別なときは垂直）か平行のどちらか。2つの平面が交わるとき、交わりの部分はいつも直線になる。
例題
例題：立方体ABCD－EFGHで、辺ABとねじれの位置にある辺を見つけよう（E，F，G，HはそれぞれA，B，C，Dの真上の頂点）。
辺EFは辺ABと平行、辺DCは辺ABと平行、辺BCは辺ABと点Bで交わる。
辺CGは、辺ABと交わらず、平行でもない。だから辺ABと辺CGはねじれの位置にある。
なぜそうなるか
平面図形では、2直線は交わるか平行かのどちらかしかない。しかし空間では、直線は上下にもずれて配置できるので、交わらず平行でもない「ねじれの位置」が生まれる。
直線が平面に垂直かどうかは、平面全体ではなく、平面上の交わる2直線に垂直かどうかだけ調べればよい。これは、交わる2直線でその平面がちょうど1つに決まるからだ。
こうした位置関係を知っておくと、見取図や展開図から、立体のもつ性質を読み取りやすくなる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/lines-and-planes-in-space/?from=print#quiz
空間で2つの直線が交わらず、平行でもないときの位置関係を何というか。
- ◯ 垂直の位置
- ◯ 対称の位置
- ◯ 平行の位置
- ◯ ねじれの位置
正解：ねじれの位置
交わらず平行でもない2直線の関係を「ねじれの位置」という。空間だけにある位置関係で、平面上では起こらない。立方体ABCD－EFGH（Eは A の上、Fは B の上、Gは C の上、Hは D の上）で、辺ABとねじれの位置にある辺はどれか。
- ◯ 辺EF
- ◯ 辺BC
- ◯ 辺CG
- ◯ 辺DC
正解：辺CG
辺ABと辺CGは、交わらず平行でもないので、ねじれの位置にある。辺EFはABと平行、辺DCはABと平行、辺BCはABと点Bで交わる。空間で、交わる2つの直線によって決まる平面はいくつか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1
交わる2直線は、ちょうど1つの平面を決める。平行な2直線でも同じく1つの平面が決まる。直線が平面に垂直であることを確かめるには、平面上の何本の交わる直線に垂直であればよいか。
- ◯ 1本
- ◯ 2本
- ◯ 3本
- ◯ 4本
正解：2本
平面は交わる2直線で決まるので、その2本に垂直であれば、平面上のすべての直線に垂直になる。空間で2つの平面が交わるとき、交わりの部分はどんな図形になるか。
- ◯ 直線
- ◯ 円
- ◯ 点
- ◯ 平面
正解：直線
交わらない2平面は平行だが、交わるときの交わりの部分は必ず直線になる。
単元のポイント
- ねじれの位置 交わらず、平行でもない2直線の位置関係
- 2直線の位置関係 交わる・平行・ねじれの位置の3通り
- 直線と平面の位置関係 直線が平面に含まれる・交わる（特に垂直）・平行の3通り
- 平面と平面の位置関係 交わる（特に垂直）・平行の2通り。交わりは直線になる