球の表面積と体積
ゾウ先生表面積は4πr²、体積は4/3πr³。この並びをリズムで覚えてしまおう。
30秒でつかむ
- 球の表面積は、半径rを使ってS＝4πr²で求められる。
- 球の体積は、半径rを使ってV＝4/3πr³で求められる。
- 球の体積は、それがぴったり入る円柱（底面の半径が球の半径、高さが直径と等しい円柱）の体積の2/3になる。
詳しく
公式
半径rの球の表面積（新しいタブで開きます）Sと体積Vは、次の式で求められる。
S＝4πr² V＝4/3πr³
表面積は、球をちょうど半分に切った切り口の円（大円）の面積πr²の、ちょうど4倍になっている。
例題
例題：半径3cmの球の表面積と体積を求めよう。
表面積は4π×3²＝36π なので、36π cm²。
体積は4/3π×3³＝36π なので、36π cm³。半径3cmでは表面積と体積の数の部分がどちらも36になる、おもしろい例だ。
なぜそうなるか
球がちょうどぴったり入る円柱（底面の半径がrで、高さが2rの円柱）を考える。この円柱の体積（新しいタブで開きます）はπr²×2r＝2πr³。
球の体積4/3πr³は、この円柱の体積2πr³の2/3にあたる。実際に水を使った実験でも、球の形の入れ物に入れた水を円柱に移すと2/3の高さまでしか入らないことが確かめられる。
表面積の4πr²についても、紙テープを球の表面に巻きつける実験などから、大円の面積の4倍になることを確かめられる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/sphere-surface-area-and-volume/?from=print#quiz
半径3cmの球の表面積は □π cm² になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：36
球の表面積は4πr²。r＝3を入れると4×3²＝36で、36π cm²になる。半径3cmの球の体積はどれか。
- ◯ 12π cm³
- ◯ 27π cm³
- ◯ 36π cm³
- ◯ 108π cm³
正解：36π cm³
球の体積は4/3πr³。r＝3を入れると4/3×27＝36で、36π cm³になる。半径6cmの球の表面積は □π cm² になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：144
4πr²にr＝6を入れると4×36＝144で、144π cm²になる。球がぴったり入る円柱（底面の半径と高さの半分が、球の半径と等しい円柱）と比べると、球の体積は円柱の体積の何倍か。
- ◯ 1/3倍
- ◯ 1/2倍
- ◯ 2/3倍
- ◯ 3/4倍
正解：2/3倍
球の体積は、それがぴったり入る円柱の体積（新しいタブで開きます）の2/3になる。水を移す実験で確かめられる関係だ。半径9cmの球の体積は □π cm³ になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：972
4/3πr³にr＝9を入れると4/3×729＝972で、972π cm³になる。
単元のポイント
- 球の表面積 S＝4πr²
- 球の体積 V＝4/3πr³
- 大円 球をちょうど半分に切ったときの切り口の円。面積はπr²