数学的帰納法
ゾウ先生［2］では「n＝kで成り立つ」を必ず使おう。使わずに示せたら、どこかがおかしいよ。
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- 数学的帰納法は、自然数nについての命題が、すべての自然数nで成り立つことを示す証明の方法。
- ［1］n＝1で成り立つことを示し、［2］n＝kで成り立つと仮定してn＝k＋1でも成り立つことを示す。
- ドミノ倒しと同じで、最初の1枚が倒れ、どの1枚も次を倒せば、全部が倒れる。
詳しく
公式
自然数nについての命題が、すべての自然数nで成り立つことを示す証明の方法を、数学的帰納法という。
手順は2つある。［1］n＝1のときに成り立つことを示す。［2］n＝kで成り立つと仮定して、n＝k＋1でも成り立つことを示す。
［1］と［2］が示せれば、n＝1からn＝2、n＝2からn＝3と次々に成り立っていく。だから、すべての自然数nで成り立つといえる。
例題
例題：すべての自然数nでが成り立つことを証明せよ。
［1］n＝1のとき、左辺は1、右辺は1²＝1なので成り立つ。
［2］n＝kでが成り立つと仮定する。両辺に次の奇数2k＋1を足すと、左辺はn＝k＋1のときの和と同じ式になる。
右辺はk²＋2k＋1＝(k＋1)²となるので、n＝k＋1のときも成り立つ。［1］［2］より、すべての自然数nで成り立つことが示せた。
なぜそうなるか
数学的帰納法の仕組みは、ドミノ倒しにたとえられる。最初の1枚が倒れることが、［1］の役目だ。
どの1枚も、倒れれば次の1枚を倒すように並んでいることが［2］にあたる。この2つがそろえば、何枚並んでいても全部倒れる。
［1］か［2］の片方だけでは足りない。［2］が無いと2枚目から先が倒れる保証が無く、［1］が無いとそもそも倒れ始めない。
漸化式（新しいタブで開きます）で予想した一般項の証明にも使える。a₁＝1、aₙ₊₁＝2aₙ＋1でaₙ＝2ⁿ−1と予想したら、aₖ₊₁＝2(2ᵏ−1)＋1＝2ᵏ⁺¹−1で確かめられる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/mathematical-induction/?from=print#quiz
数学的帰納法の［2］で示すことはどれか。
- ◯ n＝kで成り立つと仮定して、n＝k＋1でも成り立つこと
- ◯ すべてのnで成り立つと仮定すること
- ◯ n＝2のときに成り立つこと
- ◯ n＝kとn＝k＋1の両方で成り立つと仮定すること
正解：n＝kで成り立つと仮定して、n＝k＋1でも成り立つこと
［2］では、n＝kで成り立つことを仮定して使い、その次のn＝k＋1でも成り立つことを示す。示したいことを最初から仮定してはいけない。1＋3＋5＋…＋(2n−1)＝n²で、n＝6のときの右辺の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：36
n＝6のとき、左辺は1＋3＋5＋7＋9＋11＝36、右辺は6²＝36で一致する。1＋2＋…＋n＝n(n＋1)/2を数学的帰納法で示す。n＝kからn＝k＋1へ進むとき、両辺に足すものはどれか。
- ◯ 2k＋1
- ◯ n
- ◯ k＋1
- ◯ k
正解：k＋1
n＝kの左辺1＋2＋…＋kに次の項k＋1を足すと、n＝k＋1の左辺になる。2k＋1は奇数の和の例題で足した項。数学的帰納法で、［1］を示さずに［2］だけを示した場合はどうなるか。
- ◯ すべての自然数で成り立つといえる
- ◯ n＝2から先で成り立つといえる
- ◯ 成り立つ出発点が無いので、どのnで成り立つともいえない
- ◯ n＝1のときだけ成り立つといえる
正解：成り立つ出発点が無いので、どのnで成り立つともいえない
［2］は「n＝kで成り立てば次も成り立つ」という連鎖だけを示す。最初の1枚が倒れなければドミノは倒れ始めないのと同じで、どのnについても成り立つとはいえない。
単元のポイント
- 数学的帰納法 自然数nの命題を2段階で証明する方法
- ［1］ n＝1のときに成り立つことを示す
- ［2］ n＝kで成り立つと仮定し、n＝k＋1でも成り立つことを示す