漸化式
ゾウ先生漸化式が出てきたら、まず最初の3〜4項を書き出して、どんな数列か眺めてみよう。
30秒でつかむ
- 前の項から次の項を決める規則を表した式を漸化式という。初項と漸化式で、数列の項がすべて決まる。
- aₙ₊₁＝paₙ＋q（p≠1）は、α＝pα＋qを満たすαでaₙ₊₁−α＝p(aₙ−α)と変形し、等比数列（新しいタブで開きます）に直す。
- ハノイの塔の最少の手数はaₙ₊₁＝2aₙ＋1、複利の残高はbₙ₊₁＝1.01bₙのように漸化式で表せる。
詳しく
公式
数列の前の項から次の項を決める規則を表した式を、漸化式という。a₁＝3、aₙ₊₁＝aₙ＋4なら、3, 7, 11, …と項が順に決まる。
漸化式aₙ₊₁＝aₙ＋dは公差（新しいタブで開きます）dの等差数列を表す。aₙ₊₁＝raₙは、公比rの等比数列を表す漸化式だ。
aₙ₊₁＝paₙ＋q（p≠1）の形では、α＝pα＋qを満たすαを求める。この式を特性方程式という。
そのαを使うと、漸化式はと変形できる。{aₙ−α}が公比pの等比数列になるので、一般項が求まる。
例題
例題：a₁＝1、aₙ₊₁＝2aₙ＋1で決まる数列の一般項を求めよ。
α＝2α＋1を解くと、α＝−1だ。漸化式はaₙ₊₁＋1＝2(aₙ＋1)と変形できる。
{aₙ＋1}は初項a₁＋1＝2、公比2の等比数列なので、aₙ＋1＝2·2ⁿ⁻¹＝2ⁿだ。よって一般項はと求まる。
はじめの項を書き出すと1, 3, 7, 15, …となり、どれも2ⁿ−1の値と一致する。
なぜそうなるか
漸化式は、身の回りの「1回ごとの変化」をそのまま式にしたものだ。ハノイの塔で、n枚の円盤を移す最少の手数をaₙとしよう。
n＋1枚を移すには、上のn枚をよけるのにaₙ回、いちばん下の1枚に1回、n枚を戻すのにaₙ回動かす。だから、漸化式はaₙ₊₁＝2aₙ＋1だ。
a₁＝1なので、これは例題と同じ漸化式で、一般項は2ⁿ−1になる。円盤が10枚なら、最少で2¹⁰−1＝1023回の手数がかかる。
複利の預金も同じように表してみよう。年利1％なら翌年の残高は前の年の1.01倍なので、bₙ₊₁＝1.01bₙという等比数列の漸化式になる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/recurrence-relations/?from=print#quiz
a₁＝2、aₙ₊₁＝3aₙ−1で決まる数列の第4項を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：41
順に計算すると、a₂＝3×2−1＝5、a₃＝3×5−1＝14、a₄＝3×14−1＝41。a₁＝1、aₙ₊₁＝2aₙ＋1で決まる数列の第10項を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1023
例題より一般項はaₙ＝2ⁿ−1。n＝10を入れると2¹⁰−1＝1024−1＝1023。漸化式aₙ₊₁＝3aₙ−4をaₙ₊₁−α＝3(aₙ−α)と変形するとき、αの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
特性方程式α＝3α−4を解くと、2α＝4よりα＝2。aₙ₊₁−2＝3(aₙ−2)と変形できる。漸化式aₙ₊₁＝aₙ＋5で表される数列はどれか。
- ◯ 公比5の等比数列
- ◯ 公差5の等差数列
- ◯ すべての項が5の数列
- ◯ 階差数列が等比数列になる数列
正解：公差5の等差数列
前の項に毎回5を足すので、となり合う項の差が5で一定の等差数列（新しいタブで開きます）。公比5の等比数列（新しいタブで開きます）はaₙ₊₁＝5aₙで表す。
単元のポイント
- 漸化式 前の項から次の項を決める規則を表した式
- 特性方程式 α＝pα＋q。aₙ₊₁＝paₙ＋qを変形する鍵
- aₙ₊₁−α＝p(aₙ−α) {aₙ−α}が公比pの等比数列になる