実数(じっすう)と絶対値(ぜったいち)

実数(じっすう)は、自然数(しぜんすう)・整数(せいすう)・有理数(ゆうりすう)・無理数(むりすう)を合(あ)わせた数(かず)の全体(ぜんたい)のこと。中学(ちゅうがく)までに学(まな)んだ数(かず)は、すべて実数(じっすう)の中(なか)に入(はい)る。

実数(じっすう)は、数直線(すうちょくせん)上(うえ)の点(てん)とちょうど1対(たい)1に対応(たいおう)する。どの実数(じっすう)も数直線上(すうちょくせんじょう)にただ1つの点(てん)をもち、どの点(てん)にもただ1つの実数(じっすう)が対応(たいおう)する。

数直線上(すうちょくせんじょう)で、0からその数(かず)までの距離(きょり)を絶対値(ぜったいち)という。$a$の絶対値(ぜったいち)は$|a|$と書(か)く。正(せい)の数(すう)と0ではそのままの値(あたい)、負(ふ)の数(すう)では符号(ふごう)を変(か)えた値(あたい)になる。

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例題(れいだい)：$\dfrac{5}{11}$を小数(しょうすう)にすると、どんな小数(しょうすう)になるか確(たし)かめよう。

5を11で割(わ)ると、商(しょう)は$0.454545\ldots$で、$45$という2桁(けた)がくり返(かえ)される。このような小数(しょうすう)を循環(じゅんかん)小数(しょうすう)という。

循環(じゅんかん)小数(しょうすう)は分数(ぶんすう)に直(なお)せる。$x=0.454545\ldots$とすると$100x=45.454545\ldots$。$100x-x=45$より$99x=45$。よって$x=\mathbf{\dfrac{45}{99}=\dfrac{5}{11}}$。

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分数(ぶんすう)を割(わ)り算(ざん)で小数(しょうすう)にすると、余(あま)りは0から割(われ)る数未満(かずみまん)の有限(ゆうげん)の種類(しゅるい)しかない。

だから割(わ)り続(つづ)けると、いつか同(おな)じ余(あま)りが現(あらわ)れ、その先(さき)は同(おな)じ数字(すうじ)の並(なら)びがくり返(かえ)される。

余(あま)りが0になれば有限(ゆうげん)小数(しょうすう)、余(あま)りがくり返(かえ)されれば循環(じゅんかん)小数(しょうすう)になる。これが分数(ぶんすう)が必(かなら)ず有限(ゆうげん)小数(しょうすう)か循環(じゅんかん)小数(しょうすう)になる理由(りゆう)だ。

絶対値(ぜったいち)は、正負(せいふ)に関(かか)わらず「0からの離(はな)れ方(かた)」だけを取(と)り出(だ)すための考(かんが)え方(かた)。

気温(きおん)の差(さ)や誤差(ごさ)の大(おお)きさなど、向(む)きを考(かんが)えずに大(おお)きさだけを比(くら)べたい場面(ばめん)で役(やく)に立(た)つ。