根号を含む式の計算
ゾウ先生根号の中を先に簡単にすると、同じ形がまとまって計算しやすくなるよ。
30秒でつかむ
- √の中が同じ形になるよう簡単にすると、同類項のように根号の部分をまとめて足し引きできる。
- 根号どうしの乗法は√a×√b＝√abでまとめ、乗法公式（新しいタブで開きます）を使って展開することもできる。
- 分母に根号がある式は、分母と同じ形を分子・分母にかけて、分母から根号を消す有理化ができる。
詳しく
公式
根号の中の数は、2乗の形を取り出して簡単にできる。のように、中を素因数分解（新しいタブで開きます）して考える。
根号の中が同じ形の項は、同類項のように係数だけを足し引きすればよい。のように計算する。
、のとき、が成り立つ。乗法公式も根号に使える。のように展開できる。
例題
例題：を簡単にしよう。まず根号の中を2乗の形に分ける。
、になる。だから。計算するとになる。
例題：の分母を有理化しよう。分母と共役な式を分子・分母にかける。
分母はで根号が消える。式はだ。約分するとになる。
なぜそうなるか
分母に根号を残さないのは、計算や比較をしやすくするための昔からの約束だから。
分母が√を含むと、同じ値でも書き方がいく通りもできてしまい、答え合わせがしにくくなる。
分母と共役な式をかけると根号が消える。2乗の差の公式がそのまま使えるからだ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/radical-expressions-and-rationalization/?from=print#quiz
√12を根号の中が最も簡単な形にするとどれか。
- ◯ 2√6
- ◯ 2√3
- ◯ 3√2
- ◯ 4√3
正解：2√3
12＝4×3なので、√12＝√4×√3＝2√3になる。√8×√2の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：4
√8×√2＝√(8×2)＝√16＝4。3/(√5＋√2)の分母を有理化するとどれか。
- ◯ √5−√2
- ◯ (√5−√2)/3
- ◯ 3(√5−√2)
- ◯ √5＋√2
正解：√5−√2
分子・分母に共役な式√5−√2をかけると、分母は5−2＝3になり、3/(√5＋√2)＝3(√5−√2)/3＝√5−√2。√18−√8を簡単にするとどれか。
- ◯ √2
- ◯ 5√2
- ◯ √10
- ◯ √26
正解：√2
√18＝3√2、√8＝2√2なので、√18−√8＝3√2−2√2＝√2になる。
単元のポイント
- 根号 √の記号。中の数を素因数分解して簡単にできる
- 同類項（根号） √の中が同じ形の項。係数どうしだけを足し引きできる
- 分母の有理化 分母に根号がある式を、分母に根号が無い形に直すこと
- 共役な式 √a＋√bと√a−√bのような、符号だけ違う組。かけると根号が消える