三角比(さんかくひ)

中学(ちゅうがく)では、30°・45°・60°の直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)で辺(へん)の比(ひ)を学(まな)んだ。ここではその比(ひ)に、角(かく)の大(おお)きさから引(ひ)き出(だ)せる名前(なまえ)をつける。

直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)ABCで、$\angle C=90°$、角(かく)Aに注目(ちゅうもく)する。Aに向(む)かい合(あ)う辺(へん)BCを対辺(たいへん)、Aをはさむ辺(へん)ACを隣(となり)辺(へん)、直角(ちょっかく)に向(む)かい合(あ)う辺(へん)ABを斜辺(しゃへん)と呼(よ)ぶ。

角(かく)Aの正弦(せいげん)$\sin A$・余弦(よげん)$\cos A$・正接(せいせつ)$\tan A$を、次(つぎ)の比(ひ)で定(さだ)める。$\mathbf{\sin A=\dfrac{対辺}{斜辺}}$で表(あらわ)す。$\mathbf{\cos A=\dfrac{隣辺}{斜辺}}$も同(おな)じように表(あらわ)す。$\mathbf{\tan A=\dfrac{対辺}{隣辺}}$も同(おな)じように表(あらわ)す。

よく使(つか)う角(かく)の値(あたい)は次(つぎ)のとおり。$\sin 30°=\dfrac{1}{2}$、$\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$になる。$\tan 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。$\sin 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$になる。$\cos 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$も同(おな)じだ。$\tan 45°=1$。$\sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos 60°=\dfrac{1}{2}$になる。$\tan 60°=\sqrt{3}$。角度(かくど)から値(あたい)を求(もと)めたり値(あたい)から角度(かくど)を求(もと)めたりするときは、三角比(さんかくひ)表(ひょう)や電卓(でんたく)を使(つか)ってよい。

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例題(れいだい)：電波(でんぱ)塔(とう)から水平(すいへい)に20m離(はな)れた地点(ちてん)から先端(せんたん)を見上(みあ)げると、見上(みあ)げる角(かく)（仰角(ぎょうかく)）が45°だった。電波(でんぱ)塔(とう)の高(たか)さを求(もと)めよう。

地点(ちてん)・電波(でんぱ)塔(とう)の根元(ねもと)・先端(せんたん)で直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)ができる。根元(ねもと)の角(かく)を$A=45°$とすると、高(たか)さが対辺(たいへん)、20mが隣(となり)辺(へん)にあたる。だから$\tan A=\dfrac{高さ}{20}$。

$\tan 45°=1$なので、高(たか)さは$20\times\tan 45°$で求(もと)まる。計算(けいさん)すると$=20\times 1=\mathbf{20m}$。このように、離(はな)れた距離(きょり)と仰角(ぎょうかく)がわかれば、直接(ちょくせつ)測(はか)れない高(たか)さをtanで求(もと)められる。階段(かいだん)の踏面(ふみづら)と蹴上(けあ)げの比(ひ)も、同(おな)じtanの考(かんが)え方(かた)で傾(かたむ)きを表(あらわ)せる。

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直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)の1つの角(かく)を同(おな)じ大(おお)きさに保(たも)てば、大(おお)きさの違(ちが)う三角形(さんかくけい)はすべて相似(そうじ)になる。相似(そうじ)な図形(ずけい)では対応(たいおう)する辺(へん)の比(ひ)がそろう。

だから$\dfrac{対辺}{斜辺}$のような辺(へん)の比(ひ)は、三角形(さんかくけい)の大(おお)きさを変(か)えても一定(いってい)になる。角(かく)Aの大(おお)きさだけで決(き)まる値(あたい)だ。

この性質(せいしつ)があるから、実際(じっさい)に測(はか)れない高(たか)さや距離(きょり)でも、角度(かくど)と1つの辺(へん)の長(なが)さから計算(けいさん)で求(もと)められる。測量(そくりょう)や建築(けんちく)で三角比(さんかくひ)が使(つか)われる理由(りゆう)もここにある。