三角比(さんかくひ)の相互(そうご)関係(かんけい)

三角比(さんかくひ)には、sinA・cosA・tanAを結(むす)びつける公式(こうしき)がいくつかある。1つの値(あたい)さえわかれば、残(のこ)りを計算(けいさん)だけで求(もと)められる。

まず、正接(せいせつ)は正弦(せいげん)と余弦(よげん)の比(ひ)で表(あらわ)せる。$\mathbf{\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}}$。対辺(たいへん)÷斜辺(しゃへん)を隣(となり)辺(へん)÷斜辺(しゃへん)で割(わ)ると、対辺(たいへん)÷隣(となり)辺(へん)になることから確(たし)かめられる。

直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)の3辺(へん)には三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)（新しいタブで開きます）が成(な)り立(た)つので、次(つぎ)の関係(かんけい)式(しき)も導(みちび)かれる。$\mathbf{\sin^2A+\cos^2A=1}$が成(な)り立(た)つ。$\mathbf{1+\tan^2A=\dfrac{1}{\cos^2A}}$も成(な)り立(た)つ。

角(かく)AとBの和(わ)が90°のとき、2つの角(かく)は斜辺(しゃへん)を共有(きょうゆう)する直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)の中(なか)で対辺(たいへん)と隣(となり)辺(へん)が入(い)れ替(か)わる。そのため$\mathbf{\sin A=\cos(90°-A)}$が成(な)り立(た)つ。$\mathbf{\cos A=\sin(90°-A)}$も同(おな)じように成(な)り立(た)つ。

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例題(れいだい)：Aが鋭角(えいかく)で$\sin A=\dfrac{3}{5}$とする。$\cos A$と$\tan A$の値(あたい)を求(もと)めよう。

$\sin^2A+\cos^2A=1$より$\cos^2A=1-\sin^2A$となる。$\cos^2A=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$を計算(けいさん)する。$=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$になる。Aは鋭角(えいかく)で$\cos A>0$なので、$\cos A=\mathbf{\dfrac{4}{5}}$。

続(つづ)けて$\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$を計算(けいさん)する。$\dfrac{3/5}{4/5}=\mathbf{\dfrac{3}{4}}$になる。斜辺(しゃへん)5・対辺(たいへん)3・隣(となり)辺(へん)4の直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)を思(おも)い浮(う)かべると、同(おな)じ値(あたい)が辺(へん)の比(ひ)からも確(たし)かめられる。

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sin²A＋cos²Aを辺(へん)の比(ひ)で書(か)き直(なお)す。sin²Aは$\left(\dfrac{対辺}{斜辺}\right)^2$になる。cos²Aは$\left(\dfrac{隣辺}{斜辺}\right)^2$になる。

分母(ぶんぼ)を斜辺(しゃへん)の2乗(じょう)にそろえて足(た)すと、分子(ぶんし)は「対辺(たいへん)の2乗(じょう)＋隣(となり)辺(へん)の2乗(じょう)」になり、これは三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)によって斜辺(しゃへん)の2乗(じょう)と等(ひと)しい。だから式(しき)全体(ぜんたい)は$\dfrac{斜辺^2}{斜辺^2}=1$になる。

1＋tan²A＝1／cos²Aも、sin²A＋cos²A＝1の両辺(りょうへん)をcos²Aで割(わ)れば出(で)てくる。覚(おぼ)える公式(こうしき)を減(へ)らして、導(みちび)き方(かた)を押(お)さえておくと計算(けいさん)ミスが減(へ)る。