微分法の確認問題

Question 1

y＝(3x＋2)⁴の導関数dy/dxを合成関数の公式で求め、x＝0でのdy/dxの値を求めよ。

Accepted Answer

96

Question 2

y＝(x²＋1)³で、u＝x²＋1とおいたとき、x＝1でのdy/dxの値はどれか。

Accepted Answer

24

Answer

6

Answer

12

Answer

48

Question 3

y＝√xの導関数dy/dxをx＝y²の逆関数として求め、x＝4でのdy/dxの値を求めよ。分数の形で、/（スラッシュ）を使って答えよう。

Accepted Answer

1/4

Question 4

(xʳ)′＝rxʳ⁻¹がrが有理数のときも成り立つとすると、f(x)＝$x^{1/3}$の導関数f′(x)はどれか。

Accepted Answer

$(1/3)x^{-2/3}$

Answer

$(1/3)x^{2/3}$

Answer

3x²

Answer

$x^{-2/3}$

Question 5

f″(x)＞0の区間で、グラフの凹凸はどうなるか。

Accepted Answer

下に凸

Answer

増加

Answer

上に凸

Answer

減少

Question 6

f(x)＝x³−3x²の変曲点のx座標を求めよ。

Accepted Answer

1

Question 7

f(x)＝x³−3x²の変曲点はどれか。

Accepted Answer

(1, −2)

Answer

(2, −4)

Answer

(0, 0)

Answer

(1, 0)

Question 8

f(x)＝x³−3x²の第二次導関数f″(x)を求め、f″(2)の値を求めよ。

Accepted Answer

6

Question 9

f(x)＝|x|がx＝0で微分可能でない理由として正しいものはどれか。

Accepted Answer

x＝0の前後で平均変化率の極限が−1と1に分かれ、1つに決まらないから

Answer

x＝0でf(x)の値が負になるから

Answer

x＝0でf(x)が連続でないから

Answer

x＝0でf(x)の値が定義されていないから

Question 10

商の導関数の公式を使って求めると、f(x)＝x⁻²（＝1/x²）の導関数f′(x)はどれか。

Accepted Answer

−2x⁻³

Answer

x⁻³

Answer

−2x⁻¹

Answer

2x⁻³

Question 11

f(x)＝(2x＋1)(x²−3)の導関数f′(x)を積の導関数の公式で求め、f′(1)の値を求めよ。

Accepted Answer

2

Question 12

g(x)＝x²/(x＋1)の導関数g′(x)を商の導関数の公式で求め、g′(1)の値を求めよ。分数の形で、/（スラッシュ）を使って答えよう。

Accepted Answer

3/4

Question 13

nを限りなく大きくしたとき、(1＋1/n)ⁿの値はどれに近づくか。

Accepted Answer

約2.71828（e）

Answer

1

Answer

2

Answer

限りなく大きくなる

Question 14

y＝$e^{2x}$の導関数dy/dxを求め、x＝0でのdy/dxの値を求めよ。

Accepted Answer

2

Question 15

f(x)＝$2^x$の導関数f′(x)を$(a^x)' = a^x \log a$の公式で求めるとどれか。

Accepted Answer

$2^x \log 2$

Answer

$2^x$

Answer

$\frac{2^x}{\log 2}$

Answer

$x \cdot 2^{x-1}$

Question 16

f(x)＝log(3x)の導関数f′(x)を求め、f′(2)の値を求めよ。分数の形で、/（スラッシュ）を使って答えよう。

Accepted Answer

1/2

Question 17

cos xの導関数(cos x)′はどれか。

Accepted Answer

−sin x

Answer

cos x

Answer

−cos x

Answer

sin x

Question 18

y＝3sin x−2cos xの導関数dy/dxを求め、x＝0でのdy/dxの値を求めよ。

Accepted Answer

3

Question 19

f(x)＝sin x cos xの導関数f′(x)を積の導関数の公式で求めるとどれか。

Accepted Answer

cos2x

Answer

2sin x cos x

Answer

−sin2x

Answer

sin2x

Question 20

f(x)＝tan xの導関数f′(x)＝1/cos²xを使って、f′(π/4)の値を求めよ。

Accepted Answer

2

Question 21

曲線上の点(a, f(a))でf′(a)＝0のとき、法線の方程式はどれか。

Accepted Answer

x＝a

Answer

y＝0

Answer

y＝−x＋a

Answer

y＝f(a)

Question 22

曲線y＝log xの点(1, 0)における法線の方程式はy＝−x＋kの形になる。kの値を求めよ。

Accepted Answer

1

Question 23

曲線y＝$e^x$の点(0, 1)における法線の傾きを求めよ。

Accepted Answer

-1

Question 24

曲線y＝sin xの点(0, 0)における接線の方程式はどれか。

Accepted Answer

y＝x

Answer

y＝−x

Answer

y＝1

Answer

x＝0

Question 25

位置x(t)＝t³−6t²＋9tで動く点の加速度a(t)を求め、a(2)の値を求めよ。

Accepted Answer

0

Question 26

近似式Δy≈f′(x)Δxが成り立つ理由として正しいものはどれか。

Accepted Answer

xの近くでは曲線が接線にほとんど重なって見えるから

Answer

yの値がxの値に比例するから

Answer

f′(x)が必ず一定の値になるから

Answer

Δxがどんな大きさでも誤差が0になるから

Question 27

f(x)＝x²の近似式Δy≈f′(x)Δxを使って、x＝2付近での(2.01)²の値を見積もれ。

Accepted Answer

4.04

Question 28

位置x(t)＝t³−6t²＋9tで動く点の速度v(t)が0になる時刻t（0＜t）はどれか。

Accepted Answer

t＝1、3

Answer

t＝1のみ

Answer

t＝3のみ

Answer

t＝0、2

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