合成(ごうせい)関数(かんすう)の導関数(どうかんすう)

u＝g(x)を内側(うちがわ)、y＝f(u)を外側(そとがわ)として2段(だん)に組(く)んだ関数(かんすう)y＝f(g(x))を合成(ごうせい)関数(かんすう)という。合成(ごうせい)関数(かんすう)の導関数(どうかんすう)は、内側(うちがわ)と外側(そとがわ)をそれぞれ微分(びぶん)してかけ合(あ)わせる。

$\mathbf{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}}$、つまり$\mathbf{\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)}$だ。xの増分(ぞうぶん)に対(たい)するyの増分(ぞうぶん)の比(ひ)が、uを経由(けいゆ)した2段(だん)の比(ひ)の積(せき)になっていることに対応(たいおう)する。

この公式(こうしき)を使(つか)うと、商(しょう)の導関数(どうかんすう)（新しいタブで開きます）で確(たし)かめたnが負(ふ)の整数(せいすう)のときだけでなく、(xʳ)′＝rxʳ⁻¹がrが有理数(ゆうりすう)のときにも成(な)り立(た)つことが示(しめ)せる。これで分数(ぶんすう)関数(かんすう)や無理(むり)関数(かんすう)（√xを含(ふく)む関数(かんすう)）の導関数(どうかんすう)も求(もと)められるようになる。

例題(れいだい)：y＝(3x＋2)⁴の導関数(どうかんすう)dy/dxを求(もと)めよ。

u＝3x＋2とおくと、y＝u⁴。dy/du＝4u³、du/dx＝3なので、$\mathbf{\frac{dy}{dx} = 4u^3 \times 3 = 12(3x+2)^3}$になる。

もう一(ひと)つ：y＝(x²＋1)³の導関数(どうかんすう)は、u＝x²＋1とおくとdy/dx＝3u²×2x＝6x(x²＋1)²。x＝1での値(あたい)は6×1×4＝24になる。

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合成(ごうせい)関数(かんすう)の公式(こうしき)は、逆(ぎゃく)関数(かんすう)の導関数(どうかんすう)を求(もと)めるときにも役(やく)に立(た)つ。y＝f(x)の逆(ぎゃく)関数(かんすう)x＝f⁻¹(y)があるとき、xをyの関数(かんすう)として微分(びぶん)したdx/dyと、もとのdy/dxは逆数(ぎゃくすう)の関係(かんけい)$\mathbf{\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}}$になる。

例(たと)えば、y＝√x（x≧0）はx＝y²（y≧0）の逆(ぎゃく)関数(かんすう)だ。x＝y²をyで微分(びぶん)するとdx/dy＝2yなので、$\mathbf{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} = \frac{1}{2\sqrt{x}}}$になる。

これは、xʳの導関数(どうかんすう)の公式(こうしき)でr＝1/2としたときの$(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$と一致(いっち)する。逆(ぎゃく)関数(かんすう)から求(もと)めても、指数(しすう)の公式(こうしき)を直接(ちょくせつ)使(つか)っても、同(おな)じ導関数(どうかんすう)が得(え)られることが確(たし)かめられる。

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