常用対数(じょうようたいすう)

対数(たいすう)とその性質(せいしつ)（新しいタブで開きます）・対数(たいすう)関数(かんすう)とそのグラフ（新しいタブで開きます）では、底(そこ)がいろいろな数(かず)の対数(たいすう)を見(み)てきた。底(そこ)を10にそろえた対数(たいすう)を、常用対数(じょうようたいすう)という。

常用対数(じょうようたいすう)は$\mathbf{\log_{10} x}$と書(か)き、10を省略(しょうりゃく)して$\log x$と書(か)くこともある。$\log_{10}100=2$、$\log_{10}1000=3$のように、10のべきなら整数(せいすう)だ。

常用対数(じょうようたいすう)の値(あたい)がわかっていれば、10のべきでない数(かず)の対数(たいすう)も近(ちか)い値(あたい)で見積(みつ)もれる。たとえば$\log_{10}2=0.3010$が与(あた)えられているとしよう。このとき$\log_{10}4=\log_{10}2^2=2\times0.3010=0.6020$と計算(けいさん)できる。

常用対数(じょうようたいすう)は、大(おお)きさが何桁(なんけた)も違(ちが)う量(りょう)を表(あらわ)す目盛(めも)りにも使(つか)われている。音(おと)の大(おお)きさを表(あらわ)すデシベルは音(おと)の強(つよ)さの常用対数(じょうようたいすう)をもとに決(き)められていて、強(つよ)さが10倍(ばい)になるごとに10デシベルずつ上(あ)がるしくみだ。地震(じしん)の規模(きぼ)を表(あらわ)すマグニチュードは、1大(おお)きくなるとエネルギーが約(やく)32倍(ばい)（$10^{1.5}$倍(ばい)）になる。

例題(れいだい)：$\log_{10}2=0.3010$として、$2^{30}$は何桁(なんけた)の数(かず)か求(もと)めよ。

$\log_{10}2^{30}=30\log_{10}2$と変形(へんけい)でき、値(あたい)は$30\times0.3010=9.03$。これは$\mathbf{10^9 \leq 2^{30} < 10^{10}}$を意味(いみ)する。

$10^9$は10桁(けた)の数(かず)のうちいちばん小(ちい)さい数(かず)、$10^{10}$は11桁(けた)の数(かず)のうちいちばん小(ちい)さい数(かず)だ。この間(かん)に$2^{30}$があるので、$\mathbf{2^{30}は10桁}$の数(かず)だとわかる。下(した)の図(ず)は、この桁数(けたすう)の見積(みつ)もり方(かた)を数直線(すうちょくせん)で表(あらわ)したものだ。

（押すと拡大して表示します）

対数(たいすう)は、バクテリアの増殖(ぞうしょく)や放射性物質(ほうしゃせいぶっしつ)の崩壊(ほうかい)のように、割合(わりあい)で変化(へんか)する現象(げんしょう)を調(しら)べるときにも使(つか)われる。

ある薬(くすり)の体内(たいない)残量(ざんりょう)が、1時間(じかん)ごとに80％になるとしよう。n時間後(じかんご)の残量(ざんりょう)はもとの0.8ⁿ倍(ばい)になる。残量(ざんりょう)が50％以下(いか)になるnを求(もと)めるには、$0.8^n \leq 0.5$の両辺(りょうへん)の常用対数(じょうようたいすう)を考(かんが)える。

$n\log_{10}0.8 \leq \log_{10}0.5$で、$\log_{10}0.8$は負(ふ)の数(すう)だ。両辺(りょうへん)を$\log_{10}0.8$で割(わ)ると不等号(ふとうごう)の向(む)きが変(か)わる。$\mathbf{n \geq \dfrac{\log_{10}0.5}{\log_{10}0.8}}$が成(な)り立(た)つ。

$\log_{10}0.5=-0.3010$、$\log_{10}0.8=-0.0969$だ。計算(けいさん)すると$n \geq 3.1$になる。よって$\mathbf{4時間後に残量は50％を下回る}$。下(した)の図(ず)は、1時間(じかん)ごとに80％になる残量(ざんりょう)の減(へ)り方(かた)を表(あらわ)したものだ。

（押すと拡大して表示します）