対数(たいすう)とその性質(せいしつ)

指数(しすう)関数(かんすう)とそのグラフ（新しいタブで開きます）では、$2^x=16$のように底(そこ)をそろえて指数(しすう)を比(くら)べる方法(ほうほう)を使(つか)った。では$2^x=3$を満(み)たすxは、これまでの数(かず)では簡単(かんたん)に表(あらわ)せない。

そこで、$a^x=M$（aは1でない正(せい)の数(すう)、Mは正(せい)の数(すう)）を満(み)たすxを、$\mathbf{x=\log_a M}$という記号(きごう)で表(あらわ)す。aを底(そこ)、Mを真数(しんすう)と呼(よ)ぶ。たとえば$2^1=2$、$2^2=4$なので、$\log_2 3$は1と2の間(あいだ)にある数(かず)だとわかる。

下(した)の図(ず)は、$2^1=2$と$2^2=4$の間(あいだ)に3があることを表(あらわ)す。この位置(いち)から$\log_2 3$の大(おお)きさを数直線(すうちょくせん)で確(たし)かめたものだ。対数(たいすう)の値(あたい)がどれくらいの大(おお)きさか、見通(みとお)しを持(も)てるようになる。

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例題(れいだい)：$\log_2 8 + \log_2 4$の値(あたい)を求(もと)めよ。

対数(たいすう)の性質(せいしつ)$\log_a MN=\log_a M+\log_a N$を使(つか)う。すると$\mathbf{\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32}$になる。$32=2^5$なので、$\mathbf{\log_2 32=5}$。

一般(いっぱん)に、cを1でない正(せい)の数(すう)として$\mathbf{\log_a M=\dfrac{\log_c M}{\log_c a}}$が成(な)り立(た)つ。これを底(てい)の変換公式(へんかんこうしき)という。使(つか)う例(れい)を見(み)よう。$\log_4 8$を考(かんが)える。底(そこ)を2にそろえると$\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}$になる。

$\log_a MN=\log_a M+\log_a N$が、なぜ成(な)り立(た)つのか、指数(しすう)法則(ほうそく)から確(たし)かめよう。

$X=\log_a M$、$Y=\log_a N$とおくと、$M=a^X$、$N=a^Y$。指数(しすう)法則(ほうそく)$a^X\times a^Y=a^{X+Y}$から、$\mathbf{MN=a^{X+Y}}$になる。

これは対数(たいすう)の定義(ていぎ)から$\mathbf{\log_a MN=X+Y=\log_a M+\log_a N}$を意味(いみ)する。下(した)の図(ず)は、この導(みちび)き方(かた)を順(じゅん)に並(なら)べたものだ。同(おな)じように$a^X \div a^Y=a^{X-Y}$からlogₐ(M/N)の性質(せいしつ)も導(みちび)ける。

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