平方完成と頂点
ゾウ先生aでくくる・2で割って2乗する・引いた分だけ戻す。この3つの手順を型として覚えよう。
30秒でつかむ
- y＝ax²＋bx＋cをy＝a(x−p)²＋qの形に直すことを平方完成という。頂点(p, q)がそのまま読める。
- 手順は、xの係数をaでくくり、( )の中をx＋b/2aの2乗の形に直し、増えた分を外に出して整える。
- aが1でないとき、( )の外に出す数にaをかけ忘れる間違いが多い。最後に展開して元の式に戻るか確かめよう。
詳しく
公式
をの形に直す作業を平方完成という。まずの係数で、との項をくくり出す。
次にの中をの形に直す。このときを一度足した分をの中で引いておき、外に出すときにをかける。
最後に全体を整理するとの形になる。頂点と軸がそのまま読める。
例題
例題：を平方完成し、頂点を求めよ。
との項を2でくくると。の中をの形に直すとになる。
かっこを外すとなので、。頂点は、軸は。
なぜそうなるか
平方完成でよくある間違いは、でくくった後にの中だけで帳尻を合わせることだ。外に出すときにをかけ忘れる。
例題ではの中でを足して引き、の形にした。このはでくくったの中にあるので、外に出すときはとして扱う。
不安なときは、求めたをもう一度展開する。最初のに戻ることを確かめるとよい。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/completing-the-square-and-vertex/?from=print#quiz
y＝x²−6x＋10を平方完成すると、頂点の座標は(3, k)になる。kの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1
x²−6x＋10＝(x−3)²−9＋10＝(x−3)²＋1。頂点は(3, 1)なのでk＝1。y＝−2x²＋4x＋1を平方完成して求めた頂点はどれか。
- ◯ (1, −3)
- ◯ (2, 3)
- ◯ (−1, 3)
- ◯ (1, 3)
正解：(1, 3)
y＝−2(x²−2x)＋1＝−2{(x−1)²−1}＋1＝−2(x−1)²＋2＋1＝−2(x−1)²＋3。頂点は(1, 3)。y＝3x²＋12x＋7を平方完成した式として正しいものはどれか。
- ◯ 3(x＋2)²−5
- ◯ 3(x＋4)²−5
- ◯ 3(x＋2)²＋3
- ◯ 3(x−2)²−5
正解：3(x＋2)²−5
3x²＋12x＋7＝3(x²＋4x)＋7＝3{(x＋2)²−4}＋7＝3(x＋2)²−12＋7＝3(x＋2)²−5。「3(x＋2)²＋3」は( )の中の−4に3をかけ忘れた間違い。y＝2x²−12x＋7の軸を表す直線はx＝□である。□に当てはまる数を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3
y＝2(x²−6x)＋7＝2{(x−3)²−9}＋7＝2(x−3)²−11。軸はx＝3。
単元のポイント
- 平方完成 y＝ax²＋bx＋cをy＝a(x−p)²＋qの形に直すこと
- p 軸の位置。p＝−b/2a
- q 頂点のy座標。頂点のx座標pを元の式に代入した値