二次(にじ)関数(かんすう)のグラフと平行移動(へいこういどう)

中学校(ちゅうがっこう)では$y＝ax^2$のグラフだけを学(まな)び、「二次(にじ)関数(かんすう)」という言葉(ことば)はまだ使(つか)っていなかった。高校(こうこう)では一般(いっぱん)の二次(にじ)関数(かんすう)$y＝ax^2＋bx＋c$（$a$は0でない）を扱(あつか)う。

$y＝ax^2$のグラフを$x$方向(ほうこう)に$p$、$y$方向(ほうこう)に$q$だけ平行移動(へいこういどう)する。すると$y＝a(x−p)^2＋q$の形(かたち)だ。この形(かたち)を見(み)れば、グラフの位置(いち)がすぐにわかる。

$y＝a(x−p)^2＋q$のグラフは、直線(ちょくせん)$x＝p$を軸(じく)とし、点(てん)$(p, q)$を頂点(ちょうてん)とする。$a>0$なら上(うえ)に開(ひら)き、$a<0$なら下(した)に開(ひら)く。

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例題(れいだい)：$y＝x^2$のグラフを右(みぎ)に3、上(うえ)に2だけ平行移動(へいこういどう)すると、どんな式(しき)になるか。

右(みぎ)に3動(うご)かすので$x$を$x−3$に置(お)き換(か)え、上(うえ)に2動(うご)かすので最後(さいご)に2を足(た)す。式(しき)は$y＝(x−3)^2＋2$になる。

この式(しき)の頂点(ちょうてん)は$\mathbf{(3, 2)}$、軸(じく)は直線(ちょくせん)$\mathbf{x＝3}$。$a＝1>0$なので、グラフは上(うえ)に開(ひら)く。

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$y＝a(x−p)^2＋q$で$x＝p$を代入(だいにゅう)すると$(x−p)^2＝0$になる。$y＝q$という一番(いちばん)シンプルな値(ね)になる。

$a>0$のとき$(x−p)^2$は0以上(いじょう)の値(あたい)しかとらない。そのため$y$は$x＝p$のとき最小(さいしょう)になり、頂点(ちょうてん)がグラフの一番(いちばん)低(ひく)い点(てん)になる。

この性質(せいしつ)は、次(つぎ)のページで学(まな)ぶ二次(にじ)関数(かんすう)の最大値(さいだいち)（新しいタブで開きます）・最小値(さいしょうち)を求(もと)める考(かんが)え方(かた)の土台(どだい)になる。グラフの式(しき)を見(み)るだけで位置(いち)と形(かたち)がつかめるのが、平行移動(へいこういどう)の形(かたち)の利点(りてん)だ。