二次(にじ)関数(かんすう)の最大値(さいだいち)と最小値(さいしょうち)

二次(にじ)関数(かんすう)（新しいタブで開きます）$y＝a(x−p)^2＋q$で$x$の範囲(はんい)に決(き)まりがないとき、最小値(さいしょうち)・最大値(さいだいち)は$a$の符号(ふごう)で決(き)まる。$a>0$なら頂点(ちょうてん)$x＝p$で最小値(さいしょうち)$q$をとり、最大値(さいだいち)はない。

逆(ぎゃく)に$a<0$なら頂点(ちょうてん)$x＝p$で最大値(さいだいち)$q$をとり、最小値(さいしょうち)はない。グラフが上下(じょうげ)どちらに開(ひら)くかで、求(もと)める値(あたい)が入(い)れ替(か)わる。

$x$の範囲(はんい)（定義域(ていぎいき)）が$\alpha≤x≤\beta$のように決(き)まっているときは、頂点(ちょうてん)の値(あたい)だけでなく両端(りょうたん)の値(あたい)も求(もと)める。両端(りょうたん)$x＝\alpha$と$x＝\beta$での値(あたい)を頂点(ちょうてん)の値(あたい)と比(くら)べる。

例題(れいだい)：周(しゅう)の長(なが)さが20cmの長方形(ちょうほうけい)がある。1辺(へん)の長(なが)さを$x$cmとするとき、面積(めんせき)が最大(さいだい)になるのはどんな形(かたち)か。

もう1辺(へん)は$10−x$cmなので、面積(めんせき)は$y＝x(10−x)＝−x^2＋10x$。平方完成(へいほうかんせい)すると$y＝−(x−5)^2＋25$。

$a＝−1<0$なので、頂点(ちょうてん)$x＝5$で最大値(さいだいち)$\mathbf{25}$をとる。このとき$10−x＝5$なので、1辺(へん)5cmの正方形(せいほうけい)のとき面積(めんせき)は最大(さいだい)になる。

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頂点(ちょうてん)のx座標(ざひょう)が、決(き)められた$x$の範囲(はんい)の外(そと)にあることもある。このときグラフは範囲(はんい)の中(なか)でずっと増(ふ)え続(つづ)けるか、ずっと減(へ)り続(つづ)けるかのどちらかになる。

たとえば$y＝(x＋1)^2−5$の頂点(ちょうてん)は$x＝−1$だが、範囲(はんい)が$2≤x≤4$なら頂点(ちょうてん)は範囲(はんい)の外(そと)。この範囲(はんい)では$x$が大(おお)きいほど$y$も大(おお)きくなるので、最小値(さいしょうち)は$x＝2$、最大値(さいだいち)は$x＝4$で決(き)まる。

「頂点(ちょうてん)が一番(いちばん)大(おお)きい・小(ちい)さい」と決(き)めつけない。

頂点(ちょうてん)が範囲(はんい)に入(はい)っているかを先(さき)に確(たし)かめることが、最大値(さいだいち)・最小値(さいしょうち)を求(もと)めるときの一番(いちばん)の注意(ちゅうい)点(てん)だ。

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