空間(くうかん)の座標(ざひょう)

平面上(へいめんじょう)の点(てん)の位置(いち)をx座標(ざひょう)とy座標(ざひょう)の組(くみ)(x,y)で表(あらわ)したのと同(おな)じように、空間内(くうかんない)の点(てん)の位置(いち)を考(かんが)える。互(たが)いに垂直(すいちょく)な3本(ほん)の軸(じく)（x軸(じく)・y軸(じく)・z軸(じく)）を使(つか)うと、x座標(ざひょう)・y座標(ざひょう)・z座標(ざひょう)の組(くみ)(x,y,z)で表(あらわ)せる。

空間(くうかん)では、x軸(じく)とy軸(じく)を含(ふく)むxy平面(へいめん)、y軸(じく)とz軸(じく)を含(ふく)むyz平面(へいめん)、z軸(じく)とx軸(じく)を含(ふく)むzx平面(へいめん)という3つの座標(ざひょう)平面(へいめん)を使(つか)う。これらを基準(きじゅん)にして点(てん)の位置(いち)をとらえる。

原点(げんてん)から点(てん)P(x,y,z)までの距離(きょり)は、2段階(だんかい)の三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)で求(もと)められる。原点(げんてん)から(x,y,0)までの距離(きょり)と、(x,y,0)からPまでの距離(きょり)を使(つか)う。この2つに三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)を使(つか)うと$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$になる。

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例題(れいだい)：2点(てん)A(1,2,3)、B(4,6,15)間(かん)の距離(きょり)を求(もと)めよう。

xの差(さ)は$4-1=3$、yの差(さ)は$6-2=4$、zの差(さ)は$15-3=12$。まずxy平面上(へいめんじょう)でのAとBの距離(きょり)を三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)で求(もと)めると、$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。

このxy平面上(へいめんじょう)の距離(きょり)5と、zの差(さ)12を使(つか)って、もう一度(いちど)三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)を使(つか)う。すると$AB=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=\mathbf{13}$になる。

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2点(てん)A$(x_1,y_1,z_1)$、B$(x_2,y_2,z_2)$の距離(きょり)を考(かんが)えよう。この距離(きょり)の公式(こうしき)がなぜ成(な)り立(た)つか、2段階(だんかい)の三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)で確(たし)かめる。まずAとBをxy平面(へいめん)に下(お)ろした影(かげ)$(x_1,y_1,0)$、$(x_2,y_2,0)$を考(かんが)える。この2点間(てんかん)の距離(きょり)は、三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)を使(つか)うと$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$と表(あらわ)せる。

この長(なが)さを1つの辺(へん)、zの差(さ)$z_2-z_1$をもう1つの辺(へん)とする直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)に、もう一度(いちど)三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)を使(つか)う。AとBの距離(きょり)は$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$になる。三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)を2回(かい)使(つか)うだけで、平面(へいめん)の距離(きょり)の公式(こうしき)が空間(くうかん)でも同(おな)じ形(かたち)のまま成(な)り立(た)つ。

この考(かんが)え方(かた)は実生活(じっせいかつ)にも応用(おうよう)されている。GPS(ジーピーエス)（全地球(ぜんちきゅう)測位(そくい)システム）は複数(ふくすう)の人工(じんこう)衛星(えいせい)からの距離(きょり)をもとに、地球上(ちきゅうじょう)の地点(ちてん)を緯度(いど)・経度(けいど)・高(たか)さという3つの数値(すうち)の組(くみ)で特定(とくてい)している。コンピュータグラフィックスで立体(りったい)を画面(がめん)に描(えが)くときも、物体(ぶったい)の各(かく)頂点(ちょうてん)を空間(くうかん)の座標(ざひょう)(x,y,z)として扱(あつか)う。その上(うえ)で、視点(してん)に応(おう)じて画面上(がめんじょう)の平面(へいめん)の座標(ざひょう)に変換(へんかん)して表示(ひょうじ)している。どちらも、平面(へいめん)の座標(ざひょう)を1つ増(ふ)やして空間(くうかん)に広(ひろ)げるという、ここで学(まな)んだ考(かんが)え方(かた)の応用(おうよう)といえる。