三平方の定理の公式と証明
ゾウ先生直角をはさむ2辺を2乗して足すと、斜辺の2乗になる。どの辺が斜辺かをまず確かめよう。
30秒でつかむ
- 直角三角形で、直角をはさむ2辺をa、b、斜辺（新しいタブで開きます）をcとすると、a²＋b²＝c²が成り立つ（三平方の定理）。
- この関係を使うと、2辺の長さから残りの1辺の長さを求められる。
- 逆に、3辺の長さがa²＋b²＝c²を満たせば、その三角形は直角三角形だといえる。
詳しく
公式
直角三角形で、直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、次の式が成り立つ。
これを三平方の定理（ピタゴラスの定理）という。2辺の長さがわかれば、残りの1辺の長さを求められる。
例題
例題：直角三角形の斜辺が13cm、直角をはさむ1辺が5cmのとき、もう1辺の長さを求めよう。
三平方の定理より、。
144の平方根（新しいタブで開きます）は12なので、もう1辺の長さは12cmになる。
なぜそうなるか
三平方の定理は、直角三角形の各辺を1辺とする正方形の面積の関係として証明できる。直角をはさむ2辺の正方形の面積の和が、斜辺の正方形の面積と等しくなる。
図形を並べ替えて面積が等しいことを示す方法が、代表的な証明のしかたの1つ。中学ではこの中の1つの証明を扱う。
この定理は逆にも使える。3辺の長さがを満たせば、その三角形は直角三角形だと確かめられる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/pythagorean-theorem/?from=print#quiz
直角三角形の直角をはさむ2辺の長さが6cmと8cmのとき、斜辺の長さは何cmか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：10
三平方の定理より、斜辺（新しいタブで開きます）²＝6²＋8²＝36＋64＝100。斜辺は√100＝10cmになる。直角三角形の斜辺が13cm、直角をはさむ1辺が5cmのとき、もう1辺の長さはどれか。
- ◯ 11cm
- ◯ 12cm
- ◯ 14cm
- ◯ 18cm
正解：12cm
三平方の定理より、もう1辺²＝13²－5²＝169－25＝144。もう1辺は√144＝12cmになる。3辺の長さが5cm、12cm、13cmの三角形について正しいものはどれか。
- ◯ 正三角形である
- ◯ 二等辺三角形である
- ◯ 直角三角形ではない
- ◯ 直角三角形である（5²＋12²＝13²）
正解：直角三角形である（5²＋12²＝13²）
5²＋12²＝25＋144＝169、13²＝169で等しいので、この三角形は直角三角形だといえる。直角をはさむ2辺がどちらも1cmの直角三角形のとき、斜辺の長さはどれか。
- ◯ √3 cm
- ◯ 1cm
- ◯ √2 cm
- ◯ 2cm
正解：√2 cm
三平方の定理より、斜辺²＝1²＋1²＝2。斜辺は√2 cmになる。直角三角形の直角をはさむ2辺の長さが9cmと12cmのとき、斜辺の長さは何cmか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：15
斜辺²＝9²＋12²＝81＋144＝225。斜辺は√225＝15cmになる。
単元のポイント
- 三平方の定理 直角三角形でa²＋b²＝c²（cは斜辺）が成り立つ定理
- 斜辺（新しいタブで開きます） 直角三角形で、直角に向かい合う最も長い辺
- 直角をはさむ辺 直角をつくる2つの辺