記数(きすう)法(ほう)とn進(しん)法(ほう)

現在(げんざい)広(ひろ)く使(つか)われている10進(しん)位取(くらいど)り記数(きすう)法(ほう)は、同(おな)じ数字(すうじ)でも書(か)く位置(いち)によって表(あらわ)す値(あたい)が10倍(ばい)ずつ変(か)わる記数(きすう)法(ほう)である。たとえば345の「3」は300、「4」は40、「5」は5を表(あらわ)す。

この記数(きすう)法(ほう)が成(な)り立(た)つのは、位(くらい)のあきを示(しめ)す0という数字(すうじ)があるからだ。0がなければ、たとえば「307」と「37」を同(おな)じ記号(きごう)の並(なら)びと区別(くべつ)できなくなる。

コンピュータの内部(ないぶ)では、電気(でんき)信号(しんごう)のオンとオフの2通(とお)りだけで数(かず)を表(あらわ)す2進(しん)法(ほう)が使(つか)われている。2進(しん)法(ほう)は0と1の2つの数字(すうじ)だけで、位(くらい)が1つ上(あ)がるごとに値(あたい)が2倍(ばい)になる。

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例題(れいだい)：2進(しん)法(ほう)の数(かず)$\mathbf{1011_{(2)}}$を10進(しん)法(ほう)の数(かず)に直(なお)そう。

位(くらい)は右(みぎ)から1の位(くらい)・2の位(くらい)・4の位(くらい)・8の位(くらい)にあたる。$1011_{(2)}=1×8+0×4+1×2+1×1$を計算(けいさん)すると、$8+0+2+1=\mathbf{11}$になる。

逆(ぎゃく)に10進(しん)法(ほう)の11を2進(しん)法(ほう)に直(なお)すには、11を2で割(わ)った商(しょう)と余(あま)りを次々(つぎつぎ)に求(もと)める。$11÷2=5$余(あま)り1、$5÷2=2$余(あま)り1。$2÷2=1$余(あま)り0、$1÷2=0$余(あま)り1。余(あま)りを下(した)から並(なら)べると$\mathbf{1011_{(2)}}$になる。

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60進(しん)法(ほう)は古代(こだい)バビロニアで使(つか)われていた記数(きすう)法(ほう)だ。今(いま)も時間(じかん)の「1分(ふん)＝60秒(びょう)」「1時間(じかん)＝60分(ふん)」や角度(かくど)の「1度(ど)＝60分(ふん)」に名残(なごり)が残(のこ)っている。

60は2・3・4・5・6など多(おお)くの数(かず)で割(わ)り切(き)れる。だから時間(じかん)や角度(かくど)を半分(はんぶん)や3分(ぶん)の1、4分(ぶん)の1に分(わ)けやすく、当時(とうじ)の計算(けいさん)や暦(こよみ)づくりに都合(つごう)がよかったようだ。

n進(しん)法(ほう)の数(かず)は、右(みぎ)から$n^0$、$n^1$、$n^2$、…の位(くらい)に対応(たいおう)している。各位(かくい)の数字(すうじ)にその位(くらい)の重(おも)みをかけて足(た)し合(あ)わせると、もとの10進(しん)法(ほう)の値(あたい)に直(なお)せる。10進(しん)法(ほう)もn＝10のときのn進(しん)法(ほう)の一(いち)例(れい)にすぎない。