因数分解
ゾウ先生因数分解は展開の逆。乗法公式を逆から当てはめよう。
30秒でつかむ
- 因数分解は、多項式をいくつかの式の積の形に書きかえること。乗法公式（新しいタブで開きます）の逆の手順で見つけられる。
- x²＋(a＋b)x＋abの形なら、かけてab、たしてa＋bになる2数を探して(x＋a)(x＋b)にする。
- すべての項に共通する因数があれば、先にくくり出す。ma＋mb＝m(a＋b)の形になる。
詳しく
公式
因数分解は、乗法公式を逆から読むと見つけられる。
x²＋2ax＋a²＝(x＋a)² x²−2ax＋a²＝(x−a)² x²−a²＝(x＋a)(x−a)
共通因数があるときは、先にくくり出す。ma＋mb＝m(a＋b)の形だ。
例題
例題：x²＋9x＋20とx²＋2x−15を因数分解しよう。
x²＋9x＋20は、かけて20・たして9になる2数を探す。4と5がそれにあたるので、(x＋4)(x＋5)になる。
x²＋2x−15は、かけて−15・たして2になる2数を探す。5と−3がそれにあたるので、(x＋5)(x−3)になる。
符号つきで2数の組を探すのがポイントだ。かける数が負なら、2数の符号は違う。
なぜそうなるか
x²＋(a＋b)x＋abを(x＋a)(x＋b)に戻せるのは、乗法公式(x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋abの逆だからだ。
だから、因数分解では「たしてxの係数、かけて定数項になる2数」を探す手順が使える。
因数分解できたかどうかは、展開して元の式に戻るかを確かめればわかる。展開と因数分解は、いつも逆の関係にある。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/factorization/?from=print#quiz
x²＋9x＋20を因数分解するとどれか。
- ◯ (x＋4)(x＋4)
- ◯ (x−4)(x−5)
- ◯ (x＋4)(x＋5)
- ◯ (x＋2)(x＋10)
正解：(x＋4)(x＋5)
かけて20、たして9になる2数は4と5。だから(x＋4)(x＋5)になる。x²−10x＋25を因数分解するとどれか。
- ◯ (x＋5)²
- ◯ (x−5)²
- ◯ (x−25)²
- ◯ (x−5)(x＋5)
正解：(x−5)²
x²−2ax＋a²＝(x−a)²の形。2a＝10なのでa＝5。(x−5)²になる。x²−16を因数分解するとどれか。
- ◯ (x＋4)(x−4)
- ◯ (x−4)²
- ◯ (x＋4)²
- ◯ (x＋8)(x−2)
正解：(x＋4)(x−4)
x²−a²＝(x＋a)(x−a)の形。a²＝16なのでa＝4。(x＋4)(x−4)になる。6x＋15を因数分解すると、3(2x＋□)になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
6xと15の共通因数は3。6x÷3＝2x、15÷3＝5だから、3(2x＋5)になる。x²＋2x−15を因数分解するとどれか。
- ◯ (x＋1)(x−15)
- ◯ (x＋15)(x−1)
- ◯ (x＋5)(x−3)
- ◯ (x−5)(x＋3)
正解：(x＋5)(x−3)
かけて−15、たして2になる2数は5と−3。だから(x＋5)(x−3)になる。符号を逆にすると違う式になるので注意。
単元のポイント
- 因数分解 多項式を、いくつかの式の積の形に書きかえること
- 因数 積の形に書いたときの、それぞれの式
- 共通因数 多項式のすべての項に共通する因数
- 乗法公式（新しいタブで開きます） 因数分解は、乗法公式を逆から使って見つける
- 多項式 いくつかの項を＋や−で結んだ式