乗法公式と式の展開
ゾウ先生公式は分配法則のまとめ。まず分配法則で展開してから、公式の形を見つけよう。
30秒でつかむ
- 乗法公式は、(x＋a)(x＋b)などの決まった形をすばやく展開するための式。
- (x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋ab。(x＋a)²＝x²＋2ax＋a²。(x＋a)(x−a)＝x²−a²。
- 公式はどれも、2つの多項式を分配法則（新しいタブで開きます）で展開した結果をまとめたもの。
詳しく
公式
乗法公式は、次の4つだ。どれも分配法則を使って展開した結果をまとめたものになる。
(x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋ab (x＋a)²＝x²＋2ax＋a²
(x−a)²＝x²−2ax＋a² (x＋a)(x−a)＝x²−a²
4つめの公式は、xの項が消えて2つの項だけになるのが特徴だ。
例題
例題：(x＋4)(x＋9)と(x−6)²を展開しよう。
(x＋4)(x＋9)は、a＝4、b＝9を公式に入れる。4＋9＝13、4×9＝36だから、x²＋13x＋36だ。
(x−6)²は、a＝6を公式に入れる。2×6＝12、6²＝36なので、x²−12x＋36になる。
どちらも、公式のどの文字に何を当てはめるかを確かめてから計算すると間違えにくい。
なぜそうなるか
乗法公式は、分配法則をくり返し使うと導ける。(x＋a)(x＋b)は、x＋aをMと置けば、M(x＋b)＝Mx＋Mbとなる。
Mを戻すと、(x＋a)x＋(x＋a)b＝x²＋ax＋bx＋ab。xの項をまとめると、x²＋(a＋b)x＋abになる。
(x＋a)²は(x＋a)(x＋a)、(x＋a)(x−a)はb＝−aの場合と見れば、同じ手順から4つの公式が出てくる。
公式を覚えておけば、毎回分配法則を2回くり返さずに済む。これが乗法公式の役目だ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/multiplication-formulas/?from=print#quiz
(x＋4)(x＋9)を展開するとどれか。
- ◯ x²＋5x＋36
- ◯ x²＋36x＋13
- ◯ x²＋13x＋13
- ◯ x²＋13x＋36
正解：x²＋13x＋36
(x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋abで、a＝4、b＝9。4＋9＝13、4×9＝36だから、x²＋13x＋36になる。(x＋8)²を展開すると、x²＋16x＋□になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：64
(x＋a)²＝x²＋2ax＋a²で、a＝8。2×8＝16、8²＝64だから、x²＋16x＋64になる。(x−7)(x＋7)を展開するとどれか。
- ◯ x²−49
- ◯ x²−14x＋49
- ◯ x²＋49
- ◯ x²−14x−49
正解：x²−49
(x＋a)(x−a)＝x²−a²で、a＝7。7²＝49だから、x²−49になる。xの項は消える。(x−11)²を展開すると、x²−22x＋□になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：121
(x−a)²＝x²−2ax＋a²で、a＝11。2×11＝22、11²＝121だから、x²−22x＋121になる。(x＋a)(x＋b)を展開したとき、xの係数になるのはどれか。
- ◯ a−b
- ◯ ab
- ◯ 2ab
- ◯ a＋b
正解：a＋b
展開すると x²＋(a＋b)x＋ab になる。xの項の係数は a＋b で、定数項は ab になる。
単元のポイント
- 乗法公式 決まった形の式をすばやく展開するための公式
- 展開 かっこのある式を、かっこのない1つの多項式に書きかえること
- 分配法則（新しいタブで開きます） a(b＋c)＝ab＋acのように、かっこの外の数を中の各項にかける法則
- 同類項 文字の部分が同じ項。まとめて1つの項にできる
- 多項式 いくつかの項を＋や−で結んだ式