円周角の定理の逆と利用
ゾウ先生円周角の定理の逆は「角度→位置関係」。円に内接する四角形はその代表的な使い道だよ。
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- 円周角の定理の逆：2点P、Qが直線ABの同じ側にあり、∠APB＝∠AQBなら、4点A、B、P、Qは同じ円周上にある。
- 円に内接する四角形では、向かい合う角の和が180°になる。これは円周角の定理（新しいタブで開きます）から導かれる性質。
- 角度の情報から、点が同じ円周上にあるかどうかを確かめられる。
詳しく
公式
円周角の定理の逆：2点P、Qが直線ABの同じ側にあり、∠APB＝∠AQBが成り立つとき、4点A、B、P、Qは同じ円周上にある。
この逆の性質を使うと、円に内接する四角形（4つの頂点が1つの円周上にある四角形）の性質が導ける。
円に内接する四角形では、向かい合う対角（新しいタブで開きます）の和が180°になる。
例題
例題：円に内接する四角形ABCDで、∠A＝70°のとき、対角の∠Cを求めよう。
円に内接する四角形は、向かい合う角の和が180°になる性質がある。
180－70＝110°なので、∠Cは110°になる。
なぜそうなるか
∠APB＝∠AQBなら、PとQはどちらも同じ大きさでABを見こんでいる。これは同じ弧に対する円周角の関係と同じ形なので、4点は同じ円周上にあると言える。
円に内接する四角形ABCDの対角の和が180°になるのも、円周角の定理が理由だ。弧BCDに対する円周角∠Aと、弧BADに対する円周角∠Cを足すと、円全体の弧に対する角の半分、つまり360°の半分の180°になる。
この性質は、角度だけから図形の位置関係を判断する場面で役に立つ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/inscribed-angle-applications/?from=print#quiz
4点A、B、P、Qがあり、PとQが直線ABの同じ側にある。∠APB＝∠AQB＝50°のとき、A、B、P、Qの位置関係はどれか。
- ◯ 同じ直線上にある
- ◯ 関係ない
- ◯ 平行である
- ◯ 同じ円周上にある（円周角の定理の逆）
正解：同じ円周上にある（円周角の定理の逆）
円周角の定理の逆より、∠APBと∠AQBが等しければ、4点A、B、P、Qは同じ円周上にあるといえる。円に内接する四角形ABCDで、∠A＝70°のとき、対角の∠Cは何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：110
円に内接する四角形は、向かい合う角の和が180°になる。180－70＝110なので、∠Cは110°になる。円に内接する四角形PQRSで、∠Q＝115°のとき、対角の∠Sは何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：65
向かい合う角の和は180°になるので、180－115＝65。∠Sは65°になる。次のうち、円周角の定理の逆を使って確かめられることはどれか。
- ◯ 三角形の面積
- ◯ 4点が同じ円周上にあるかどうか
- ◯ 円の半径の長さ
- ◯ 弧の長さ
正解：4点が同じ円周上にあるかどうか
円周角の定理の逆は、4点が同じ円周上にあるかどうかを角度から判断するときに使う。円周角の定理の逆が成り立つ理由として正しいものはどれか。
- ◯ ∠APB＝∠AQBなら、PとQから見てABを見こむ角が等しく、同じ円周上に来るから
- ◯ 三角形が合同になるから
- ◯ 弧の長さが等しいから
- ◯ 対角線が直交するから
正解：∠APB＝∠AQBなら、PとQから見てABを見こむ角が等しく、同じ円周上に来るから
∠APB＝∠AQBなら、PとQから見てABを見こむ角が等しく、同じ弧に対する円周角（新しいタブで開きます）として同じ円周上に来ると考えられるから。
単元のポイント
- 円周角の定理の逆 角度が等しければ4点が同じ円周上にあるといえる定理
- 円に内接する四角形 4つの頂点がすべて1つの円周上にある四角形
- 対角（新しいタブで開きます） 四角形で向かい合う角のこと