平行四辺形の性質と条件
ゾウ先生対角線で2つの三角形に分けると、平行四辺形の性質がほとんど証明できる。
30秒でつかむ
- 2組の対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形という。対辺の長さ、対角の大きさはそれぞれ等しい。
- 四角形が平行四辺形だと示すには、2組の対辺がそれぞれ等しい、または1組の対辺が平行で長さも等しいなどの条件を使う。
- 正方形・長方形・ひし形は、どれも平行四辺形の性質を満たす特別な形だ。
詳しく
公式
平行四辺形は、2組の対辺がそれぞれ平行な四角形。対辺の長さは等しく、対角の大きさも等しい。
平行四辺形だと示すには、2組の対辺がそれぞれ等しい、対角線がそれぞれの中点で交わる、などの条件のどれかを確かめればよい。
正方形、長方形、ひし形は、平行四辺形の性質をすべて満たす特別な形として整理できる。
例題
例題：平行四辺形ABCDで、∠A＝75°のとき、∠B、∠C、∠Dをそれぞれ求めよう。
対角の∠Cは∠Aと等しいので75°。隣り合う∠Bは180−75＝105°になる。
∠Dは∠Bの対角なので、∠Dも105°。4つの角のうち、向かい合う2組がそれぞれ等しくなっている。
なぜそうなるか
平行四辺形ABCDに対角線ACを引くと、△ABCと△CDAができる。
AB//DCより∠BAC＝∠DCA（錯角（新しいタブで開きます））、AD//BCより∠BCA＝∠DAC（錯角）、ACは共通の辺。
「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」ので△ABC≡△CDAとなり、対応する辺AB＝CD、BC＝DAが等しいとわかる。
対角の大きさが等しいことも、同じように合同な三角形の対応する角から導ける。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/parallelogram-conditions/?from=print#quiz
平行四辺形で、1つの角が65°のとき、その対角（向かい合う角）は何度か。
- ◯ 25°
- ◯ 65°
- ◯ 115°
- ◯ 130°
正解：65°
平行四辺形は向かい合う角がそれぞれ等しい。だから、対角も同じ65°になる。平行四辺形で、1つの角が70°のとき、隣り合う角は何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：110
平行四辺形の隣り合う角の和は180°（2直線が平行なときの同位角（新しいタブで開きます）の関係から）。180から70を引く。四角形ABCDで、AB＝CD、BC＝ADがわかっているとき、ABCDが平行四辺形といえる条件はどれか。
- ◯ 1組の対辺だけが平行
- ◯ 2組の対辺がそれぞれ等しい
- ◯ 対角線が1本だけ等しい
- ◯ 4つの角がすべて直角
正解：2組の対辺がそれぞれ等しい
2組の対辺がそれぞれ等しければ、四角形は平行四辺形になる。これは平行四辺形になるための条件の1つ。ひし形は平行四辺形といえるか。
- ◯ いえる（特別な平行四辺形）
- ◯ 正方形のときだけいえる
- ◯ 対角線が等しいときだけいえる
- ◯ いえない（まったく別の図形）
正解：いえる（特別な平行四辺形）
ひし形は2組の対辺がそれぞれ平行なので、平行四辺形の性質をすべて満たす。平行四辺形の特別な形といえる。平行四辺形で、1つの角が48°のとき、隣り合う角は何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：132
平行四辺形の隣り合う角の和は180°。180から48を引くと、隣り合う角がわかる。
単元のポイント
- 平行四辺形 2組の対辺がそれぞれ平行な四角形
- 対辺 四角形で向かい合う辺
- 対角 四角形で向かい合う角
- 平行四辺形になるための条件 2組の対辺がそれぞれ等しい・平行など、平行四辺形と判定できる条件
- ひし形 4辺の長さがすべて等しい平行四辺形