円周角の定理
ゾウ先生円周角は中心角の半分。同じ弧なら、円周上のどこにとっても同じ大きさになるよ。
30秒でつかむ
- 円周角とは、円周上の1点から弧の両端を見こむ角のこと。
- 円周角の定理：同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分になる。
- 同じ弧に対する円周角は、円周上のどこにとっても大きさが等しい。半円の弧なら90°になる。
詳しく
公式
円Oで、弧ABに対する中心角を∠AOB、円周上の点Pから見た円周角を∠APBとすると、次の関係が成り立つ。
∠APB＝1/2×∠AOB
これを円周角の定理という。弧ABに対する円周角は、円周上のどこにPをとっても、すべて同じ大きさになる。
例題
例題：円Oで、弧ABが半円（直径AB）のとき、円周上の点Pでの円周角∠APBは何度か。
半円の弧に対する中心角は180°（直線になる）。円周角の定理より、∠APBはその半分の90°になる。
これは「直径に対する円周角は90°」という、よく使われる特別な場合にあたる。
なぜそうなるか
O、A、Pを結ぶとOA＝OPの二等辺三角形（新しいタブで開きます）ができる。この性質を使うと、円周角が中心角の半分になることが証明できる。
円周角∠APBの大きさは、Pの位置を変えても、見こんでいる弧ABが変わらなければ変化しない。だから同じ弧に対する円周角はどこでも等しくなる。
この定理があるおかげで、円の中心が分からなくても、円周上の角度の関係から図形の性質を調べられる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/inscribed-angle-theorem/?from=print#quiz
円Oで、弧ABに対する中心角が80°のとき、同じ弧に対する円周角は何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：40
円周角は、同じ弧に対する中心角の半分になる。80÷2＝40なので、円周角は40°になる。円Oの円周上に点P、Qがあり、ともに弧ABに対する円周角のとき、∠APBと∠AQBの関係はどれか。
- ◯ ∠APBの方が大きい
- ◯ ∠AQBの方が大きい
- ◯ 等しい
- ◯ 関係ない
正解：等しい
同じ弧に対する円周角は、どこにとっても大きさが等しい。どちらも中心角の半分になるから。円Oで、弧CDに対する円周角が35°のとき、同じ弧に対する中心角は何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：70
中心角は、同じ弧に対する円周角の2倍になる。35×2＝70なので、中心角は70°になる。半円の弧に対する円周角はどれか。
- ◯ 45°
- ◯ 60°
- ◯ 90°
- ◯ 180°
正解：90°
半円の弧に対する中心角は180°。円周角はその半分なので90°になる。同じ弧に対する円周角がすべて等しいのはなぜか。
- ◯ 円周上の点の数が決まっているから
- ◯ どの円周角も、同じ中心角の半分になるから
- ◯ 円の半径がすべて同じだから
- ◯ 弧の長さが一定だから
正解：どの円周角も、同じ中心角の半分になるから
どの円周角も、同じ弧に対する中心角の半分という決まった値になるから。円周上のどこにとっても同じ大きさになる。
単元のポイント
- 円周角 円周上の1点から、弧の両端を見こむ角
- 中心角 円の中心から、弧の両端を見こむ角
- 円周角の定理 同じ弧に対する円周角は、中心角の半分で、どこでも等しい