反比例の式とグラフ
ゾウ先生反比例は足し算や引き算ではなく、xとyを掛けた数（積）がいつも同じになる関係だよ。
30秒でつかむ
- yがxに反比例するとき、式はy＝a/x（aは比例定数（新しいタブで開きます））の形になり、xy＝aとも書ける。
- xの値が2倍、3倍になると、yの値は1/2倍、1/3倍になる。
- 反比例のグラフは直線ではなく、原点を通らない2つの曲線（双曲線）になる。
詳しく
公式
ともなって変わる2つの数量x，yがあり、y＝a/x（aは0でない決まった数）の形で表せるとき、「yはxに反比例する」という。
このときaを比例定数という。両辺にxをかけるとxy＝aとなり、xとyの積がいつも一定であることがわかる。
例題
例題：面積が24cm²の長方形で、縦の長さをxcm、横の長さをycmとする。x＝8のときのyを求めよう。
縦×横＝面積が24で一定だから、y＝24/x。x＝8を入れると24÷8＝3で、答えは3cm。
縦の長さが長くなるほど、横の長さは短くなる。これが反比例の関係だ。
なぜそうなるか
反比例y＝a/xのグラフは、x軸やy軸と交わらない2つの曲線になる。xが0に近づくほどyの値は大きくなり、xが大きくなるほどyの値は0に近づくが、0にはならない。
aが正の数なら、グラフは右上の部分と左下の部分の2つに分かれる。aが負の数なら、右下と左上の2つに分かれる。
xが2倍、3倍になるとき、積xyが一定を保つためには、yが1/2倍、1/3倍にならなければならない。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/inverse-proportion/?from=print#quiz
面積が24cm²の長方形で、縦の長さをxcm、横の長さをycmとすると、y＝24/xになる。x＝8のときのyの値を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3
縦×横＝面積は一定なので、y＝24/x。x＝8を入れると24÷8＝3。縦が長くなるほど横は短くなる。次の式のうち、yがxに反比例するものはどれか。
- ◯ y＝x＋a
- ◯ y＝ax
- ◯ y＝a/x
- ◯ y＝ax²
正解：y＝a/x
yがxに反比例するとき、式はy＝a/xの形になる。xとyの積が一定の比例定数（新しいタブで開きます）aになる。反比例y＝－12/xで、x＝4のときのyの値を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：-3
y＝－12/xにx＝4を入れると－12÷4＝－3。aが負のときも、積xy＝aはいつも一定になる。反比例y＝a/xで、xの値が2倍になると、yの値はどうなるか。
- ◯ 変わらない
- ◯ 4倍になる
- ◯ 半分になる
- ◯ 2倍になる
正解：半分になる
反比例では、xとyの積がいつも比例定数aで一定。xが2倍になれば、yは半分にならないと積が変わってしまう。反比例y＝a/xのグラフが、x＝5のときy＝6を通る。比例定数aの値を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：30
反比例ではxy＝aがいつも成り立つ。5×6＝30なので、a＝30。
単元のポイント
- 反比例 xの値が決まるとyの値も決まり、y＝a/xの形で表せる関係
- 積xy 反比例ではx×yの値がいつも比例定数aに等しい
- 双曲線 反比例のグラフ。原点を通らず、2つに分かれた曲線になる